随机变量的变换的Wald检验

我将为您详细讲解Wald检验的相关知识，按照从基础到深入的逻辑顺序展开：

1. 基本概念
   Wald检验是一种基于参数估计量的渐近分布的统计检验方法。它得名于Abraham Wald，主要用于检验参数向量是否满足一定的线性约束。核心思想是：如果原假设成立，那么参数估计值应该与假设值"足够接近"，这个"接近程度"通过参数的渐近方差来标准化。

2. 检验统计量构造
   对于参数θ ∈ R^p，设θ̂是其极大似然估计量。在原假设H₀: θ = θ₀下，Wald统计量为：
   W = (θ̂ - θ₀)ᵀ[Iₙ(θ̂)]⁻¹(θ̂ - θ₀)
   其中Iₙ(θ̂)是观测Fisher信息矩阵。当样本量n→∞时，W依分布收敛于自由度为p的卡方分布χ²_p。

3. 线性约束的一般形式
   对于更一般的线性假设H₀: Rθ = r，其中R是q×p矩阵（q ≤ p），r是q维向量。Wald统计量推广为：
   W = (Rθ̂ - r)ᵀ[R Iₙ(θ̂)⁻¹ Rᵀ]⁻¹(Rθ̂ - r)
   这个统计量在H₀下渐近服从χ²_q分布。

4. 计算细节
   在实际计算中，需要特别注意：

• 信息矩阵Iₙ(θ)可以用观测信息矩阵或期望信息矩阵
• 当使用期望信息矩阵时，需要在θ̂处计算
• 对于复杂模型，信息矩阵的求逆需要数值方法
• 在广义线性模型等特定情况下，公式可以进一步简化

5. 与其它检验的关系
   Wald检验与似然比检验、得分检验构成三大经典渐近检验：

• 似然比检验基于似然函数值的比较
• 得分检验基于得分函数在原假设处的值
• Wald检验基于备择假设处的估计量
  三者在大样本下渐近等价，但在有限样本中表现不同。

6. 应用注意事项
   Wald检验在实际应用中需注意：

• 小样本时可能不够精确
• 对参数变换不具有不变性
• 在边界参数检验中需要修正
• 当信息矩阵接近奇异时表现不稳定
• 在广义线性模型中常用于检验单个回归系数的显著性

7. 推广与变体
   现代发展包括：

• 稳健Wald检验（使用稳健标准误）
• 调整的Wald检验（小样本修正）
• 针对特定模型的改进版本
• 在纵向数据、生存分析等复杂数据结构中的应用