量子力学中的Weyl-Titchmarsh理论 我将从基础概念开始，循序渐进地讲解Weyl-Titchmarsh理论的核心内容。 第一步：理论背景与基本问题 Weyl-Titchmarsh理论主要研究一维薛定谔算子的谱理论。考虑在区间I上的薛定谔算子： H = -d²/dx² + V(x) 其中V(x)是实值势函数。该理论的核心问题是：当区间I无界时（如实轴或半直线），如何刻画算子的谱性质？ 第二步：Weyl圆与极限圆/极限点分类 在有限区间[ a,b ]上，对于复数λ，考虑方程： -y'' + V(x)y = λy 的所有解。Weyl引入了一个关键概念：当b→∞时，在复λ平面上存在一个圆（Weyl圆），其半径随b增大而单调减小。根据这个圆的极限行为，Weyl将势函数分为两类： 极限圆情形：当b→∞时，Weyl圆收敛到一个正半径的圆 极限点情形：当b→∞时，Weyl圆收缩到一个点 第三步：Titchmarsh的谱表示 Titchmarsh进一步发展了该理论，证明了对于极限点情形，存在一个谱函数ρ(λ)，使得任何函数f∈L²(I)可表示为： f(x) = ∫_ {-∞}^{∞} F(λ)φ(x,λ)dρ(λ) 其中φ(x,λ)是满足边界条件的解，F(λ)是f(x)的广义傅里叶变换。这个表示将算子的谱分解与边值问题联系起来。 第四步：m函数的引入 理论中的关键工具是Weyl-Titchmarsh m函数，定义为： m(λ) = lim_ {b→∞} [ u'(b,λ)/u(b,λ) ] 其中u(x,λ)满足适当的边界条件。m函数是Herglotz函数（将上半平面映射到自身的全纯函数），其虚部与谱密度有直接关系： dρ/dλ = (1/π) lim_ {ε→0⁺} Im[ m(λ+iε) ] 第五步：谱类型的刻画 通过m函数的边界行为，可以完全确定算子的谱类型： 绝对连续谱对应Im[ m(λ+i0) ]存在且有限 点谱对应m(λ)在实轴上有极点 奇异连续谱对应更复杂的边界行为 第六步：理论的应用价值 Weyl-Titchmarsh理论为研究一维薛定谔算子的谱提供了强有力的工具，特别在： 证明谱的绝对连续性 研究周期势、衰减势的谱性质 分析Anderson局域化现象 建立逆谱理论的基础 这个理论将经典的边值问题、复分析和算子谱理论完美结合，成为数学物理中处理一维问题的重要框架。