分析学词条：全纯函数 我将从基础概念开始，循序渐进地讲解全纯函数这一重要概念。 第一步：复变函数的基本概念 全纯函数是定义在复平面上的函数。首先需要理解： 复变函数是从复数集到复数集的映射，即 f: ℂ → ℂ 每个复数 z 可以表示为 z = x + iy，其中 x, y ∈ ℝ，i 是虚数单位 复变函数可以写成 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 的形式，其中 u, v 是实值函数 第二步：复可微性的定义 全纯性的核心是复可微性。函数 f 在点 z₀ 处复可微，如果极限： lim_ {h→0} [ f(z₀+h) - f(z₀) ]/h 存在且有限，其中 h 是复数。这与实函数的可微性有本质区别，因为 h 可以从复平面上的任意方向趋近于 0。 第三步：柯西-黎曼方程 如果函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在一点复可微，则 u 和 v 必须满足柯西-黎曼方程： ∂u/∂x = ∂v/∂y 且 ∂u/∂y = -∂v/∂x 这是复可微性的必要条件，意味着实部和虚部不是独立的，而是通过这组偏微分方程紧密联系。 第四步：全纯函数的精确定义 函数 f 在区域 D ⊆ ℂ 上全纯，如果： f 在 D 内每一点都复可微 导数 f' 在 D 内连续 实际上，第二个条件可以证明是第一个条件的推论，这是复分析中的一个深刻结果。 第五步：全纯函数的基本性质 全纯函数具有许多优美性质： 无限次可微：如果 f 全纯，则它的各阶导数都存在且全纯 解析性：全纯函数在其定义域内可以展开为收敛的幂级数 保角性（除零点外）：全纯函数在导数非零处保持局部角度 满足柯西积分定理：沿简单闭曲线的积分为零 第六步：全纯函数的例子 常见的全纯函数包括： 多项式函数：如 f(z) = z² + 1 指数函数：e^z = e^x(cos y + i sin y) 三角函数：sin z, cos z（通过指数函数定义） 有理函数（在分母不为零的区域） 第七步：全纯函数与调和函数的关系 如果 f = u + iv 全纯，则 u 和 v 都是调和函数，即满足拉普拉斯方程： Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 Δv = ∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² = 0 这样的函数对 u 和 v 称为共轭调和函数。 第八步：全纯函数的唯一性定理 全纯函数具有极强的刚性性质： 如果两个全纯函数在区域 D 内的某个收敛点列上相等，则它们在 D 上恒等 零点的孤立性：非常数的全纯函数的零点是孤立的 最大模原理：全纯函数的模在区域内部不能取得极大值 全纯函数理论是复分析的核心内容，它将实分析中的可微性、解析性和积分理论推广到复数域，展现出比实分析更为优美和强大的性质。