随机变量的变换的Lehmann–Scheffé定理 我们先从统计推断中的基本概念开始。在参数估计中，一个核心目标是寻找"好"的估计量。无偏性是一个常见要求：若估计量 \( T \) 满足 \( E[ T ] = \theta \)，则称其为参数 \( \theta \) 的无偏估计。但无偏估计通常不唯一，因此需要进一步筛选。 接下来引入充分统计量的概念。若在给定统计量 \( S \) 的条件下，样本的条件分布不依赖于参数 \( \theta \)，则 \( S \) 称为充分统计量。直观上，\( S \) 包含了样本中关于 \( \theta \) 的全部信息。例如，对于正态分布 \( N(\mu, 1) \)，样本均值 \( \bar{X} \) 就是 \( \mu \) 的充分统计量。 现在考虑将充分性与无偏性结合。若一个统计量既是充分的又是无偏的，我们自然会问：它是否在某种意义上是"最优"的？这引出了完备性的概念：若统计量 \( S \) 满足“对任意函数 \( g \)，若 \( E[ g(S) ] = 0 \) 对所有 \( \theta \) 成立，则 \( P(g(S) = 0) = 1 \)”，则称 \( S \) 是完备的。完备性保证了统计量的分布被唯一确定。 基于这些准备，我们可以完整阐述Lehmann–Scheffé定理：若 \( S \) 是参数 \( \theta \) 的充分且完备统计量，而 \( T \) 是 \( \theta \) 的一个无偏估计，则条件期望 \( \phi(S) = E[ T|S ] \) 是唯一的一致最小方差无偏估计(UMVUE)。这意味着在所有无偏估计中，\( \phi(S) \) 的方差达到最小。 该定理的证明分为几个关键步骤。首先，利用充分性，\( \phi(S) \) 确实是一个统计量（不依赖于未知参数）。其次，由条件期望性质，\( \phi(S) \) 保持无偏性。然后，应用完备性证明唯一性：若存在另一个无偏估计 \( \psi(S) \)，则 \( E[ \phi(S) - \psi(S) ] = 0 \)，由完备性得 \( \phi(S) = \psi(S) \) 几乎必然。最后，通过条件期望的方差分解公式证明最小方差性。 理解这一定理需要注意几个要点。充分完备统计量的存在是前提条件；估计量必须是 \( S \) 的函数形式；定理保证的是在无偏估计类中的最优性。在实际应用中，常见分布族（如指数族）通常满足这些条件，使得该定理成为寻找最优估计的有力工具。