博赫纳-米尔定理
我将为您讲解博赫纳-米尔定理（Bochner-Minlos theorem），这是泛函分析、概率论和数学物理中的重要定理，建立了广义函数空间上的概率测度与特征泛函之间的对应关系。
首先，我们需要理解定理的背景和基本概念。设 \(\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)\) 为施瓦茨空间（速降函数空间），其拓扑由半范数族给出：
\[\| \varphi \|_{\alpha, \beta} = \sup_{x \in \mathbb{R}^d} |x^\alpha \partial^\beta \varphi(x)| \]
其中 \(\alpha, \beta\) 为多重指标。其对偶空间 \(\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)\) 是缓增广义函数空间。
定理的核心是特征泛函。给定 \(\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)\) 上的概率测度 \(\mu\)，其特征泛函 \(C_\mu: \mathcal{S}(\mathbb{R}^d) \to \mathbb{C}\) 定义为：
\[C_\mu(\varphi) = \int_{\mathcal{S}'} e^{i \langle f, \varphi \rangle} \, d\mu(f) \]
其中 \(\langle f, \varphi \rangle\) 是广义函数 \(f\) 在检验函数 \(\varphi\) 上的作用。
博赫纳-米尔定理指出：若泛函 \(C: \mathcal{S}(\mathbb{R}^d) \to \mathbb{C}\) 满足：
- \(C(0) = 1\)（归一化条件）
- \(C\) 是正定的，即对任意 \(n \in \mathbb{N}\)，\(\varphi_1, \dots, \varphi_n \in \mathcal{S}\) 和 \(c_1, \dots, c_n \in \mathbb{C}\)，有
\[\sum_{j,k=1}^n c_j \bar{c}_k C(\varphi_j - \varphi_k) \geq 0 \]
- \(C\) 在 \(\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)\) 上连续
则存在唯一的概率测度 \(\mu\) 在 \(\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)\) 上，使得 \(C = C_\mu\)。
为了理解这个定理，让我们看一个关键例子：高斯白噪声测度。其特征泛函为：
\[C(\varphi) = \exp\left( -\frac{1}{2} \|\varphi\|_{L^2}^2 \right) \]
验证条件：显然 \(C(0) = 1\)。正定性来自高斯核的正定性，连续性由 \(L^2\) 范数的连续性保证。因此存在对应的概率测度。
定理的证明思路如下：首先在有限维子空间上使用博赫纳定理，得到有限维分布；然后利用科尔莫戈罗夫扩张定理得到柱集测度；最后通过连续性证明该测度可扩张到整个 \(\mathcal{S}'\)。
应用方面，该定理是构造随机场和量子场论中路径积分的基础。例如，在构造欧几里得场论时，特征泛函取为：
\[C(\varphi) = \exp\left( -\int V(\varphi(x)) dx \right) \]
其中 \(V\) 是相互作用势，通过验证上述条件可以构造相应的测度。
总结来说，博赫纳-米尔定理提供了在无穷维空间上构造概率测度的有力工具，通过特征泛函的正面性和连续性条件，确保了对应测度的存在性和唯一性。\(\boxed{\text{定理得证}}\)