模的Jordan-Hölder定理 模的合成列 设 \( M \) 是一个模（例如向量空间或阿贝尔群的推广）。一个 合成列 是 \( M \) 的子模链： \[ 0 = M_ 0 \subset M_ 1 \subset \cdots \subset M_ n = M, \] 其中每个商模 \( M_ i / M_ {i-1} \) 是 单模 （即没有非平凡子模）。这些单商模称为合成列的 合成因子 。 示例 ：若 \( M \) 是有限维向量空间，单模对应于一维子空间，合成列等价于基的选取。 Jordan-Hölder定理的表述 若模 \( M \) 存在合成列，则： 任意两个合成列长度相同（记为 \( n \)，称为 \( M \) 的 长度 ）。 它们的合成因子（包括重数）在同构意义下唯一确定，即若两个合成列分别为 \[ \{M_ i\} {i=0}^n, \quad \{N_ j\} {j=0}^m, \] 则 \( n = m \)，且存在排列 \( \pi \) 使得 \( M_ i / M_ {i-1} \cong N_ {\pi(i)} / N_ {\pi(i)-1} \)。 意义 ：合成因子是模的“不可约组成部分”，类似于整数的素因子分解。 定理的证明思路 细化引理 （Schreier）：任意两个子模链可通过插入中间子模得到等价的细化链。 对合成列应用细化引理，由于合成列的商模是单模，细化后的新因子必与原因子同构。 通过比较细化后的链长与因子同构性，得到唯一性。 应用与推广 有限群 ：将群视为 \( \mathbb{Z} \)-模，Jordan-Hölder定理说明有限群的合成列（通过正规子群定义）的单商群唯一。 表示论 ：群表示的不可约分解维数唯一。 范畴论 ：在阿贝尔范畴中，若对象有有限长度，则定理仍成立。 注记 定理要求模满足 升链或降链条件 （如诺特模或阿廷模），以确保合成列存在。对于无限长模，定理不直接适用，但可通过局部化或完备化工具推广。