博雷尔-σ-代数的强可分性与可分性的关系

我们先从可分性开始理解。设\((X,\tau)\)是拓扑空间，\(\mathcal{B}(X)\)是其博雷尔-σ-代数。若存在可数集族\(\mathcal{D} \subset \mathcal{B}(X)\)，使得对任意开集\(G \subset X\)和任意\(x \in G\)，存在\(D \in \mathcal{D}\)满足\(x \in D \subset G\)，则称\(\mathcal{B}(X)\)是可分的。

现在考虑强可分性。若存在可数集族\(\mathcal{C} \subset \mathcal{B}(X)\)，使得对任意博雷尔集\(B \in \mathcal{B}(X)\)和任意\(x \in B\)，存在\(C \in \mathcal{C}\)满足\(x \in C \subset B\)，则称\(\mathcal{B}(X)\)是强可分的。

关键区别在于：可分性只要求对开集成立，而强可分性要求对所有博雷尔集成立。显然，强可分性蕴含可分性。

可分性不一定蕴含强可分性。考虑例子：设\(X\)是不可分度量空间（如不可数集配备离散度量），则：

• \(\mathcal{B}(X)\)是可分的（因为单点集可数且生成离散拓扑）
• 但对某些非开博雷尔集，可能找不到满足条件的可数子集族

充分条件：当\(X\)是第二可数拓扑空间时，设可数基为\(\mathcal{U}\)，则：

\[\mathcal{C} = \{\text{有限个}\ U_i \in \mathcal{U}\ \text的交\} \cup \{\varnothing\} \]

就是强可分的可数基。此时可分性与强可分性等价。

测度论意义：强可分性保证了任意博雷尔集可由可数集族从内部逼近。具体地，对任意\(B \in \mathcal{B}(X)\)：

\[B = \bigcup\{C \in \mathcal{C} : C \subset B\} \]

这个性质在正则测度理论和随机过程理论中有重要应用。