模的Grothendieck群 背景与动机 在模论中，我们常希望分类环上的模，但直接分类所有模可能极为复杂。Grothendieck群通过构造一个 交换群 ，将模的“同构类”与“扩张关系”转化为可计算的代数对象。其核心思想是：将模的 同构类 形式化地组合成群元素，并通过 短正合序列 定义关系，从而捕捉模的“本质差异”。 自由交换群与关系 设 \( R \) 为环，\( \mathcal{M} \) 为所有有限生成 \( R \)-模的同构类的集合。定义 自由交换群 \( F(\mathcal{M}) \)，其生成元为每个模的同构类 \([ M ]\)。但自由群过于庞大，需引入关键关系：对任意短正合序列 \[ 0 \to A \to B \to C \to 0, \] 要求 \([ B] = [ A] + [ C]\)。将所有这样的关系生成的子群商掉，得到 Grothendieck 群 \( K_ 0(R) \)。 具体构造与泛性质 定义 \( K_ 0(R) := F(\mathcal{M}) / H \)，其中 \( H \) 是由所有形如 \([ B] - [ A] - [ C]\) 的元素生成的子群。群中的加法由自由群的加法诱导，满足 \([ M] + [ N] = [ M \oplus N ]\)。 \( K_ 0(R) \) 的泛性质为：对任意交换群 \( G \) 与函数 \( f: \mathcal{M} \to G \) 满足 \( f(B) = f(A) + f(C) \)（对每个短正合序列），存在唯一群同态 \( \tilde{f}: K_ 0(R) \to G \) 使得 \( f = \tilde{f} \circ \iota \)，其中 \( \iota \) 为自然映射 \( \mathcal{M} \to K_ 0(R) \)。 与投射模的联系 若限制在 有限生成投射模 的同构类上，可定义 投射模的 Grothendieck 群 \( K_ 0(R) {\text{proj}} \)。当 \( R \) 是诺特环时，所有有限生成模有有限投射维数，此时 \( K_ 0(R) \) 与 \( K_ 0(R) {\text{proj}} \) 通过欧拉特征标关联：对模 \( M \)，若 \( P_ \bullet \to M \) 是有限投射分解，则 \([ M] = \sum (-1)^i [ P_ i ]\)。 例子与计算 若 \( R \) 是域，则 \( K_ 0(R) \cong \mathbb{Z} \)，因为模的同构类由其维数决定。 若 \( R \) 是主理想整环，有限生成模分解为自由部分与挠部分，但挠模在短正合序列中可抵消，故仍有 \( K_ 0(R) \cong \mathbb{Z} \)。 若 \( R \) 有非平凡射影模（如四元数代数），则 \( K_ 0(R) \) 可能包含挠元素，反映模的不可分解性。 几何应用 在代数几何中，对概形 \( X \)，可定义 \( K_ 0(X) \) 为凝聚层同构类的 Grothendieck 群。它与 相交理论 和 Riemann-Roch 定理 紧密相关：层在 \( K_ 0(X) \) 中的类可视为“广义除子”，而 Riemann-Roch 公式通过陈类将 \( K_ 0(X) \) 映射到上同调环。 高阶 K 理论 Grothendieck 群是 K 理论 的 \( K_ 0 \) 部分。Quillen 通过 \( Q \)-构造或 \( + \)-构造定义了高阶群 \( K_ n(R) \)，它们构成一个同调理论，与拓扑、数论（如 L 函数）深刻关联。