勒贝格点 首先，我们来理解什么是勒贝格点。设 \( f \) 是定义在 \( \mathbb{R}^n \) 上的一个局部可积函数，即对任意紧集 \( K \subset \mathbb{R}^n \)，有 \( \int_ K |f(x)| \, dx < \infty \)。对于一个点 \( x \in \mathbb{R}^n \)，如果满足 \[ \lim_ {r \to 0^+} \frac{1}{\lambda(B(x, r))} \int_ {B(x, r)} |f(y) - f(x)| \, dy = 0, \] 其中 \( B(x, r) \) 是以 \( x \) 为中心、\( r \) 为半径的开球，\( \lambda \) 是勒贝格测度，则称 \( x \) 是函数 \( f \) 的一个勒贝格点。 这个定义的核心思想是：在点 \( x \) 处，函数 \( f \) 在平均意义下是连续的。也就是说，当球的半径 \( r \) 趋近于 0 时，球内函数值与 \( f(x) \) 的差的平均值趋近于 0。 接下来，我们探讨勒贝格点的一个重要性质：几乎处处性。对于任意局部可积函数 \( f \in L^1_ {\text{loc}}(\mathbb{R}^n) \)，几乎所有的点 \( x \in \mathbb{R}^n \) 都是 \( f \) 的勒贝格点。这意味着，不满足勒贝格点条件的点构成的集合的勒贝格测度为 0。 这个结论是勒贝格微分定理的直接推论。勒贝格微分定理指出，对于局部可积函数 \( f \)，有 \[ \lim_ {r \to 0^+} \frac{1}{\lambda(B(x, r))} \int_ {B(x, r)} f(y) \, dy = f(x) \quad \text{对于几乎处处的} x. \] 而勒贝格点的定义可以看作是这个定理的一个加强形式，因为它要求函数值与其平均值的差的平均趋近于零，这比单纯的函数平均值收敛到函数值更强。 现在，我们来看一个具体的例子。考虑函数 \( f(x) = \mathbb{1} {\mathbb{Q}}(x) \)，即狄利克雷函数。这个函数在有理点处取值为 1，在无理点处取值为 0。对于任意点 \( x \)，以 \( x \) 为中心的球内既包含有理数也包含无理数，因此 \[ \frac{1}{\lambda(B(x, r))} \int {B(x, r)} |f(y) - f(x)| \, dy \] 当 \( x \) 为有理数时，由于球内无理数的测度为正，这个平均值不会趋近于 0；当 \( x \) 为无理数时，由于球内有理数的测度为正，这个平均值也不会趋近于 0。因此，狄利克雷函数没有勒贝格点。这与勒贝格点几乎处处存在的定理并不矛盾，因为狄利克雷函数不是局部可积的（它在任何区间上都不是勒贝格可积的）。 最后，我们讨论勒贝格点的一个应用。勒贝格点的概念在傅里叶分析中尤为重要。例如，在证明傅里叶级数在函数的勒贝格点处收敛时，勒贝格点的性质起到了关键作用。具体来说，如果 \( f \) 是一个周期函数且在 \( x \) 处是勒贝格点，那么其傅里叶级数在 \( x \) 处收敛于 \( f(x) \)。 总结一下，勒贝格点是实变函数中描述函数局部平均行为的一个重要概念，它揭示了局部可积函数在几乎每一点处都具有某种“平均连续性”。$\boxed{\text{勒贝格点}}$