二次型的正定性

我将从基础概念开始，逐步深入地讲解二次型的正定性。

1. 二次型的基本概念

   • 在n个变量x₁, x₂, ..., xₙ上的二次型是一个齐次二次多项式，形如：Q(x) = ∑aᵢⱼxᵢxⱼ (i,j=1到n)，其中系数aᵢⱼ构成对称矩阵A
   • 矩阵形式可写为：Q(x) = xᵀAx，其中x是列向量，A是实对称矩阵
   • 例如：Q(x,y) = 2x² + 4xy + 3y² 就是一个二元二次型

2. 正定性的定义

   • 一个二次型Q(x)称为正定的，如果对任意非零向量x ≠ 0，都有Q(x) > 0
   • 等价地，对应的对称矩阵A称为正定矩阵
   • 例如：Q(x,y) = x² + y² 是正定的，因为除了原点外总是正值

3. 判定正定性的方法

   • 顺序主子式判别法：实对称矩阵A正定当且仅当其所有顺序主子式都大于0
   • 顺序主子式是矩阵左上角的各阶子矩阵的行列式
   • 例如：对于3×3矩阵，需要检查1×1、2×2、3×3主子式都为正

4. 特征值判别法

   • 实对称矩阵A正定当且仅当其所有特征值都是正实数
   • 这是因为通过正交变换可将二次型化为标准形：λ₁y₁² + λ₂y₂² + ... + λₙyₙ²
   • 特征值全正保证了该表达式对所有非零y都为正

5. 正定二次型的几何意义

   • 在二维情形，正定二次型Q(x,y) = 1的等高线是椭圆
   • 在三维情形，Q(x,y,z) = 1的等值面是椭球面
   • 这反映了二次型在原点处取得严格极小值

6. 半正定、负定和不定二次型

   • 半正定：对所有x有Q(x) ≥ 0，且存在非零x使Q(x) = 0
   • 负定：对所有非零x有Q(x) < 0
   • 不定：既取正值也取负值

7. 正定性的应用

   • 在最优化中，Hessian矩阵正定是局部极小值的二阶充分条件
   • 在多元微积分中用于判断临界点的性质
   • 在统计学中，协方差矩阵是半正定的
   • 在物理学中出现在能量函数和小振动理论中