复变函数的柯西-黎曼方程在极坐标下的应用 柯西-黎曼方程的极坐标形式推导 设复变函数 \( f(z) = u(r,\theta) + iv(r,\theta) \)，其中 \( z = re^{i\theta} \)。通过链式法则对 \( r \) 和 \( \theta \) 求偏导，可得极坐标下的柯西-黎曼方程： \[ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}. \] 这一形式通过坐标变换从直角坐标的柯西-黎曼方程导出，强调了极坐标中径向与角向分量的耦合关系。 极坐标形式的几何与物理意义 几何解释 ：方程反映了复函数在极坐标下的保角性。若函数解析，其微分映射将局部旋转和伸缩分解为径向与角向的独立作用，且满足方向无关性。 物理应用 ：在平面流体力学中，\( u \) 和 \( v \) 可表示势函数与流函数，方程对应无旋且不可压缩流体的连续性条件，极坐标形式尤其适用于环形区域或涡旋场分析。 极坐标下的解析函数构造 通过求解极坐标柯西-黎曼方程，可系统构造解析函数。例如，给定 \( u(r,\theta) = r^n \cos(n\theta) \)，利用方程解得 \( v(r,\theta) = r^n \sin(n\theta) \)，最终得到解析函数 \( f(z) = z^n \)。此方法适用于谐波函数与正交函数系的构建。 极坐标在奇点分析中的优势 对于具有旋转对称性的函数（如 \( f(z) = z^\alpha \) 或 \( \log z \)），极坐标形式能直接揭示奇点行为。例如在分支点 \( z=0 \) 处，极坐标显示函数值随 \( \theta \) 变化，从而明确多值性的起源。 数值计算与边界问题应用 在环形域或扇形域的边值问题中，极坐标柯西-黎曼方程可分离变量，简化拉普拉斯方程求解。例如在电容场计算中，通过极坐标下的解析函数直接得到等势线分布，避免直角坐标的复杂边界匹配。