模的局部上同调 我们先从模的局部化概念开始。设 \( R \) 是一个交换环，\( M \) 是一个 \( R \)-模，\( S \subset R \) 是一个乘法闭子集。模 \( M \) 在 \( S \) 处的局部化 \( S^{-1}M \) 是通过形式分数 \( m/s \)（其中 \( m \in M, s \in S \)）构造的模，它捕获了 \( M \) 在 \( S \) 中元素“可逆”时的局部信息。例如，若 \( R \) 是一个整环，\( S = R \setminus \{0\} \)，则 \( S^{-1}M \) 是 \( M \) 在分式域上的向量空间。 接下来考虑一个理想 \( I \subset R \)。模 \( M \) 的 \( I \)-挠子模 \( \Gamma_ I(M) \) 定义为所有被 \( I \) 的某个幂次零化的元素组成的子模： \[ \Gamma_ I(M) = \{ m \in M \mid \exists n \in \mathbb{N}, I^n m = 0 \}. \] 直观上，\( \Gamma_ I(M) \) 记录了 \( M \) 中那些在“局部于 \( I \)”时消失的元素，即当 \( I \) 的幂次可逆时，这些元素变为零。 现在，函子 \( \Gamma_ I: R\text{-Mod} \to R\text{-Mod} \) 是左正合的，但不一定是右正合的。为了测量其非正合性，我们引入局部上同调函子 \( H^i_ I \)，定义为 \( \Gamma_ I \) 的右导出函子： \[ H^i_ I(M) = R^i \Gamma_ I(M). \] 具体地，取 \( M \) 的内射分解 \( 0 \to M \to E^0 \to E^1 \to \cdots \)，则 \( H^i_ I(M) \) 是这个复形应用 \( \Gamma_ I \) 后的第 \( i \) 阶上同调。 局部上同调群 \( H^i_ I(M) \) 具有重要的局部性质：它们仅依赖于 \( M \) 在闭集 \( V(I) \) 上的行为。事实上，若 \( M \) 在 \( V(I) \) 外为零（即 \( M \) 的支集含于 \( V(I) \)），则 \( H^i_ I(M) \) 捕获了 \( M \) 的局部结构。 一个关键结果是局部上同调与极限的联系： \[ H^i_ I(M) \cong \varinjlim_ n \operatorname{Ext}^i_ R(R/I^n, M). \] 这显示了 \( H^i_ I(M) \) 可以理解为 \( M \) 相对于 \( I \)-进拓扑的局部上同调，与 \( I \)-进完备化有深刻联系。 最后，局部上同调在代数几何中尤为重要：若 \( R \) 是诺特环，\( Y \subset \operatorname{Spec} R \) 是闭子集对应理想 \( I \)，则 \( H^i_ I(M) \) 描述了 \( M \) 在 \( Y \) 上的局部信息，与层上同调中的带支集上同调密切相关。