双曲抛物面的高斯曲率 我们先从双曲抛物面的定义开始。双曲抛物面是一种典型的直纹面，其标准方程可以写作 \( z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \)。这个曲面形状类似于一个马鞍，在原点附近呈现出典型的鞍点特征。 为了计算高斯曲率，我们需要曲面的第一基本形式和第二基本形式。首先，将曲面参数化为 \( \mathbf{r}(u,v) = (u, v, \frac{u^2}{a^2} - \frac{v^2}{b^2}) \)。计算一阶偏导数：\( \mathbf{r}_ u = (1, 0, \frac{2u}{a^2}) \)，\( \mathbf{r}_ v = (0, 1, -\frac{2v}{b^2}) \)。由此可得第一基本形式的系数：\( E = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ u = 1 + \frac{4u^2}{a^4} \)，\( F = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ v = -\frac{4uv}{a^2 b^2} \)，\( G = \mathbf{r}_ v \cdot \mathbf{r}_ v = 1 + \frac{4v^2}{b^4} \)。 接下来计算二阶偏导数：\( \mathbf{r} {uu} = (0, 0, \frac{2}{a^2}) \)，\( \mathbf{r} {uv} = (0, 0, 0) \)，\( \mathbf{r}_ {vv} = (0, 0, -\frac{2}{b^2}) \)。曲面的单位法向量为 \( \mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v}{|\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v|} \)。计算叉积得 \( \mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v = (-\frac{2u}{a^2}, \frac{2v}{b^2}, 1) \)，其模长为 \( |\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v| = \sqrt{1 + \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4}} \)。 现在可以计算第二基本形式的系数：\( L = \mathbf{r} {uu} \cdot \mathbf{n} = \frac{2/a^2}{\sqrt{1 + \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4}}} \)，\( M = \mathbf{r} {uv} \cdot \mathbf{n} = 0 \)，\( N = \mathbf{r}_ {vv} \cdot \mathbf{n} = \frac{-2/b^2}{\sqrt{1 + \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4}}} \)。 高斯曲率 \( K \) 由公式 \( K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} \) 给出。代入计算得： \( K = \frac{(\frac{2}{a^2})(-\frac{2}{b^2})}{(1 + \frac{4u^2}{a^4})(1 + \frac{4v^2}{b^4}) - (\frac{16u^2 v^2}{a^4 b^4})} \cdot \frac{1}{1 + \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4}} \) 化简后得到： \( K = -\frac{4}{a^2 b^2} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4})^2} \) 这个结果说明双曲抛物面的高斯曲率处处为负值，这与它的鞍形几何特征完全一致。当 \( u = v = 0 \) 时，曲率取得最小值 \( K = -\frac{4}{a^2 b^2} \)，随着远离原点，曲率的绝对值逐渐减小并趋近于零。