模的零化子 我们先从模的基本定义开始。一个模 M 是环 R 上的模，如果 M 是一个交换群，并且 R 通过一个标量乘法作用于 M，满足分配律和结合律等条件。 现在，考虑模 M 的一个元素 m。m 的零化子定义为环 R 中所有使得 r 乘以 m 等于零的元素 r 的集合，记作 Ann_ R(m)。也就是说，Ann_ R(m) = { r ∈ R | r·m = 0 }。可以验证，Ann_ R(m) 是 R 的一个左理想。 更进一步，我们可以考虑整个模 M 的零化子。M 的零化子定义为环 R 中所有使得对 M 中每个元素 m 都有 r·m = 0 的元素 r 的集合，记作 Ann_ R(M)。也就是说，Ann_ R(M) = { r ∈ R | 对任意 m ∈ M 有 r·m = 0 }。可以证明，Ann_ R(M) 是 R 的一个双边理想。 零化子与模的结构有紧密联系。例如，如果 Ann_ R(M) 是 R 的零理想，则称 M 是忠实模。这意味着环 R 中只有零元能零化整个模 M。零化子也在研究模的分解和分类中起到重要作用，它与子模、商模的零化子之间存在一定的关系。