复变函数的柯西-黎曼方程在极坐标下的形式

1. 柯西-黎曼方程的直角坐标形式回顾
   在复变函数中，若函数 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 在一点可微，则其实部 \(u(x, y)\) 和虚部 \(v(x, y)\) 需满足柯西-黎曼方程：

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \]

这一条件是复可微性的核心，体现了全纯函数的强约束性。

2. 极坐标系的引入与坐标变换
   对于复平面上的点 \(z = x + iy\)，其极坐标表示为 \(z = re^{i\theta}\)，其中 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) 为模长，\(\theta = \arctan(y/x)\) 为辐角。通过链式法则，将函数 \(f(z) = u(r, \theta) + iv(r, \theta)\) 的偏导数从直角坐标转换到极坐标：

\[ \frac{\partial}{\partial x} = \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial}{\partial y} = \sin\theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}. \]

这一变换是推导极坐标下柯西-黎曼方程的基础。

3. 极坐标下柯西-黎曼方程的推导
   将直角坐标的柯西-黎曼方程代入极坐标变换式，通过代数运算得到：

\[ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}. \]

这两个方程是极坐标下的柯西-黎曼方程，它们要求函数的径向变化与角向变化相互制约。

4. 极坐标形式的几何与物理意义
   极坐标下的柯西-黎曼方程反映了全纯函数的局部行为：

   • 径向导数 \(\frac{\partial u}{\partial r}\) 与角向导数 \(\frac{\partial v}{\partial \theta}\) 成正比，比例系数为 \(1/r\)。
   • 虚部的径向导数 \(\frac{\partial v}{\partial r}\) 与实部的角向导数 \(\frac{\partial u}{\partial \theta}\) 成反比。
     这种关系在具有旋转对称性的问题（如圆形区域上的势场分析）中尤为有用。

5. 应用实例：极坐标下的解析函数验证
   以函数 \(f(z) = \ln z = \ln r + i\theta\) 为例：

   • 实部 \(u = \ln r\)，虚部 \(v = \theta\)。
   • 计算偏导：

\[ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}, \quad \frac{\partial v}{\partial \theta} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial r} = 0, \quad \frac{\partial u}{\partial \theta} = 0. \]

• 代入极坐标柯西-黎曼方程：

\[ \frac{1}{r} = \frac{1}{r} \cdot 1, \quad 0 = -\frac{1}{r} \cdot 0. \]

方程成立，说明 \(\ln z\) 在去除原点和负实轴的区域上全纯。

6. 极坐标形式的优势与局限性
   • 优势：在圆形域、扇形域或旋转对称问题中简化计算，直接关联函数的模长与辐角行为。
   • 局限性：在原点 \(r=0\) 处方程出现奇点（分母为零），需单独分析该点的可微性。