复变函数的共形模与极值长度 共形模和极值长度是复分析中研究区域几何性质的重要工具。让我从基本概念开始，逐步深入讲解。 共形映射的基本概念 共形映射是保持角度和方向的解析函数。如果f(z)在区域D内解析且f'(z)≠0，则f将D共形映射到另一个区域。共形映射保持无穷小图形的形状，但可能改变尺寸。 曲线族的定义 考虑区域D内连接两个边界点集A和B的所有可求长曲线Γ。这个曲线族记为Γ(A,B)。例如，在环形区域{r₁<|z| <r₂}中，连接内外边界的径向曲线构成一个重要曲线族。 极值长度的引入 对于曲线族Γ，定义其极值长度为： λ(Γ) = sup_ ρ [ inf_ {γ∈Γ} L_ ρ(γ)]² / A_ ρ 其中ρ是度量函数（正的可测函数），L_ ρ(γ) = ∫_ γ ρ|dz|是曲线γ在度量ρ下的长度，A_ ρ = ∬_ D ρ² dxdy是区域D在度量ρ下的面积。 极值长度的几何解释 极值长度描述了曲线族Γ的"最短路径"相对于区域面积的度量。它是不变量，即在共形映射下保持不变。较小的极值长度意味着存在较短的曲线连接两个边界集。 共形模的定义 对于环形区域{r₁<|z| <r₂}，其共形模定义为M = (1/2π)ln(r₂/r₁)。更一般地，对于任意双连通区域，其共形模定义为在共形等价意义下对应的标准环形的模。 极值长度与共形模的关系 对于环形区域，连接内外边界的径向曲线族的极值长度等于共形模的倒数。这一关系建立了两个概念的本质联系：λ(Γ) = 1/M。 极值长度的计算方法 计算极值长度的关键是找到极值度量ρ₀，使得上述 supremum 达到。这通常转化为求解一个变分问题，可通过共形映射和对称性简化计算。 共形模的几何意义 共形模量化了区域的"细长程度"。模值越大，区域越"细长"；模值越小，区域越"粗短"。在共形映射下，模是完整的不变量。 极值长度的应用 极值长度在证明共形映射的存在性、研究边界对应、分析随机过程等方面有重要应用。它提供了衡量区域几何性质的精确工具。 理解共形模和极值长度有助于深入把握复变函数的几何本质，这两个概念在拟共形映射和泰希米勒空间理论中也有重要推广。