连分数与二次无理数

字数 2153 2025-11-18 18:13:40

连分数与二次无理数

连分数是一种表示实数的方式，它通过嵌套的分式结构来逐步逼近一个数。对于二次无理数（即满足整系数二次方程的实数无理数解），其连分数展开具有周期性，这一深刻性质将代数数与数论紧密联系起来。

首先，我们来看连分数的定义与构造。一个简单连分数具有如下形式：

\[a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + \cdots}}} \]

其中 $a_0$ 是整数，$a_1, a_2, a_3, \dots$ 是正整数。我们通常将其简记为 $[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots]$。例如，黄金比例 $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 的连分数展开为 $[1; 1, 1, 1, \dots]$，即所有部分商都是1。

连分数的收敛性是其核心性质之一。截断连分数在第 $n$ 项，得到的有理数 $\frac{p_n}{q_n}$ 称为第 $n$ 个渐近分数。这些渐近分数满足递推关系：

\[\begin{aligned} p_n &= a_n p_{n-1} + p_{n-2} \\ q_n &= a_n q_{n-1} + q_{n-2} \end{aligned} \]

其中初始值 $p_{-1} = 1, p_0 = a_0, q_{-1} = 0, q_0 = 1$。渐近分数提供了对原数的最佳有理逼近，即对于任意有理数 $\frac{a}{b}$ 满足 $0 < b \le q_n$，都有：

\[\left| \alpha - \frac{p_n}{q_n} \right| < \left| \alpha - \frac{a}{b} \right| \]

现在我们来关注二次无理数。一个实数 $\alpha$ 称为二次无理数，如果它是某个整系数二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（其中 $a \ne 0$，且判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 不是完全平方数）的根。例如 $\sqrt{2}$、$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 都是二次无理数。

拉格朗日证明了关于二次无理数连分数展开的关键定理：一个实数是二次无理数当且仅当它的连分数展开是最终周期的。这意味着从某一项开始，部分商序列 $a_0, a_1, a_2, \dots$ 会进入循环。纯循环连分数形如 $[\overline{a_0, a_1, \dots, a_{m-1}}]$，其中上划线表示周期部分。

考虑 $\sqrt{d}$ 的连分数展开，其中 $d$ 是非平方正整数。其展开具有形式：

\[\sqrt{d} = [a_0; \overline{a_1, a_2, \dots, a_m}] \]

这里 $a_0 = \lfloor \sqrt{d} \rfloor$ 是 $\sqrt{d}$ 的整数部分，而周期长度 $m$ 与 $d$ 的数论性质密切相关。例如：

\[\sqrt{2} = [1; \overline{2}], \quad \sqrt{3} = [1; \overline{1, 2}], \quad \sqrt{7} = [2; \overline{1, 1, 1, 4}] \]

连分数与佩尔方程 $x^2 - dy^2 = \pm 1$ 有深刻联系。佩尔方程的基本解 $(x_1, y_1)$ 可以通过 $\sqrt{d}$ 的连分数展开找到。具体来说，如果 $\sqrt{d}$ 的连分数周期为 $m$，那么：

当 $m$ 为偶数时，$x^2 - dy^2 = -1$ 无解，而 $x^2 - dy^2 = 1$ 的基本解对应于第 $m-1$ 个渐近分数
当 $m$ 为奇数时，$x^2 - dy^2 = -1$ 的基本解对应于第 $m-1$ 个渐近分数

例如，对于 $d = 2$，$\sqrt{2} = [1; \overline{2}]$ 的周期 $m = 1$ 为奇数，第一个渐近分数为 $\frac{3}{2}$，验证得 $3^2 - 2 \times 2^2 = 1$，这就是佩尔方程 $x^2 - 2y^2 = 1$ 的基本解。

最后，我们讨论二次无理数的共轭与约化概念。设 $\alpha = \frac{P + \sqrt{d}}{Q}$ 是二次无理数，其中 $d$ 是非平方正整数，$P, Q$ 是整数，$Q$ 整除 $d - P^2$。$\alpha$ 的共轭为 $\alpha' = \frac{P - \sqrt{d}}{Q}$。如果 $\alpha > 1$ 且 $-1 < \alpha' < 0$，则称 $\alpha$ 是约化的。

关键结论：一个二次无理数是约化的当且仅当它的连分数展开是纯循环的。这为判断二次无理数的连分数周期性提供了有效判据，也解释了为什么像黄金比例这样的数具有极其简单的连分数展开。$\boxed{\text{连分数为二次无理数的研究提供了强有力的工具}}$

连分数与二次无理数连分数是一种表示实数的方式，它通过嵌套的分式结构来逐步逼近一个数。对于二次无理数（即满足整系数二次方程的实数无理数解），其连分数展开具有周期性，这一深刻性质将代数数与数论紧密联系起来。首先，我们来看连分数的定义与构造。一个简单连分数具有如下形式： \[ a_ 0 + \frac{1}{a_ 1 + \frac{1}{a_ 2 + \frac{1}{a_ 3 + \cdots}}} \] 其中 $a_ 0$ 是整数，$a_ 1, a_ 2, a_ 3, \dots$ 是正整数。我们通常将其简记为 $[ a_ 0; a_ 1, a_ 2, a_ 3, \dots]$。例如，黄金比例 $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 的连分数展开为 $[ 1; 1, 1, 1, \dots ]$，即所有部分商都是1。连分数的收敛性是其核心性质之一。截断连分数在第 $n$ 项，得到的有理数 $\frac{p_ n}{q_ n}$ 称为第 $n$ 个渐近分数。这些渐近分数满足递推关系： \[ \begin{aligned} p_ n &= a_ n p_ {n-1} + p_ {n-2} \\ q_ n &= a_ n q_ {n-1} + q_ {n-2} \end{aligned} \] 其中初始值 $p_ {-1} = 1, p_ 0 = a_ 0, q_ {-1} = 0, q_ 0 = 1$。渐近分数提供了对原数的最佳有理逼近，即对于任意有理数 $\frac{a}{b}$ 满足 $0 < b \le q_ n$，都有： \[ \left| \alpha - \frac{p_ n}{q_ n} \right| < \left| \alpha - \frac{a}{b} \right| \] 现在我们来关注二次无理数。一个实数 $\alpha$ 称为二次无理数，如果它是某个整系数二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（其中 $a \ne 0$，且判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 不是完全平方数）的根。例如 $\sqrt{2}$、$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 都是二次无理数。拉格朗日证明了关于二次无理数连分数展开的关键定理：一个实数是二次无理数当且仅当它的连分数展开是最终周期的。这意味着从某一项开始，部分商序列 $a_ 0, a_ 1, a_ 2, \dots$ 会进入循环。纯循环连分数形如 $[ \overline{a_ 0, a_ 1, \dots, a_ {m-1}} ]$，其中上划线表示周期部分。考虑 $\sqrt{d}$ 的连分数展开，其中 $d$ 是非平方正整数。其展开具有形式： \[ \sqrt{d} = [ a_ 0; \overline{a_ 1, a_ 2, \dots, a_ m} ] \] 这里 $a_ 0 = \lfloor \sqrt{d} \rfloor$ 是 $\sqrt{d}$ 的整数部分，而周期长度 $m$ 与 $d$ 的数论性质密切相关。例如： \[ \sqrt{2} = [ 1; \overline{2}], \quad \sqrt{3} = [ 1; \overline{1, 2}], \quad \sqrt{7} = [ 2; \overline{1, 1, 1, 4} ] \] 连分数与佩尔方程 $x^2 - dy^2 = \pm 1$ 有深刻联系。佩尔方程的基本解 $(x_ 1, y_ 1)$ 可以通过 $\sqrt{d}$ 的连分数展开找到。具体来说，如果 $\sqrt{d}$ 的连分数周期为 $m$，那么：当 $m$ 为偶数时，$x^2 - dy^2 = -1$ 无解，而 $x^2 - dy^2 = 1$ 的基本解对应于第 $m-1$ 个渐近分数当 $m$ 为奇数时，$x^2 - dy^2 = -1$ 的基本解对应于第 $m-1$ 个渐近分数例如，对于 $d = 2$，$\sqrt{2} = [ 1; \overline{2} ]$ 的周期 $m = 1$ 为奇数，第一个渐近分数为 $\frac{3}{2}$，验证得 $3^2 - 2 \times 2^2 = 1$，这就是佩尔方程 $x^2 - 2y^2 = 1$ 的基本解。最后，我们讨论二次无理数的共轭与约化概念。设 $\alpha = \frac{P + \sqrt{d}}{Q}$ 是二次无理数，其中 $d$ 是非平方正整数，$P, Q$ 是整数，$Q$ 整除 $d - P^2$。$\alpha$ 的共轭为 $\alpha' = \frac{P - \sqrt{d}}{Q}$。如果 $\alpha > 1$ 且 $-1 < \alpha' < 0$，则称 $\alpha$ 是约化的。关键结论：一个二次无理数是约化的当且仅当它的连分数展开是纯循环的。这为判断二次无理数的连分数周期性提供了有效判据，也解释了为什么像黄金比例这样的数具有极其简单的连分数展开。$\boxed{\text{连分数为二次无理数的研究提供了强有力的工具}}$