亥姆霍兹方程的格林函数 亥姆霍兹方程是数学物理中描述波动现象稳态解的重要方程，其形式为 ∇²φ + k²φ = -f(x)，其中 k 是波数，f(x) 是源项。格林函数法是求解此类非齐次方程的有力工具，下面逐步展开讲解： 格林函数的物理意义与定义 在波动问题中，格林函数 G(x,x') 表示位于 x' 点的单位点源在 x 处产生的场响应。对于亥姆霍兹方程，其满足： ∇²G(x,x') + k²G(x,x') = -δ(x-x') 这里 δ(x-x') 是狄拉克δ函数，体现了点源的局部特性。格林函数实际上构建了任意源分布 f(x) 与场 φ(x) 之间的线性关系：φ(x) = ∫G(x,x')f(x')dx'。 自由空间格林函数的推导 当介质均匀无界时，可通过傅里叶变换求解。令 ξ 为波矢量，对格林函数方程作傅里叶变换： (-|ξ|² + k²)G̃(ξ) = -1 解得 G̃(ξ) = 1/(|ξ|² - k²)。通过逆变换得到三维空间的显式解： G(x,x') = e^(ik|x-x'|)/(4π|x-x'|) 此表达式满足索末菲辐射条件，保证向外传播的物理解。 边界条件与镜像法 当存在边界时，需构造满足边界条件的格林函数。以狄利克雷问题为例，要求 G|∂Ω=0。此时可将格林函数拆分为： G(x,x') = G₀(x,x') + Gᵢ(x,x') 其中 G₀ 是自由空间格林函数，Gᵢ 为满足齐次方程的特解。对于简单几何（如半空间），可通过镜像法设置虚源使组合函数满足边界条件。 谐振腔问题的本征函数展开 在有限区域Ω内，格林函数可表示为拉普拉斯算符本征函数的级数： G(x,x') = Σ_ n φ_ n(x)φ_ n* (x')/(k_ n² - k²) 其中 φ_ n 是满足 ∇²φ_ n + k_ n²φ_ n=0 的本征函数。当 k→k_ n 时出现的奇点对应系统的共振特性。 复k平面与解析延拓 当 k 为复数时，格林函数可解析延拓。在量子散射理论中，此性质用于研究共振态。极点位置 k_ n = κ_ n - iγ_ n/2 给出共振能量 κ_ n 和衰减率 γ_ n，体现了系统的准稳态特性。 该方法将偏微分方程求解转化为积分方程，显著降低了问题维度，在电磁波传播、量子散射和声学建模中具有广泛应用。