圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续五十六） 在之前讨论的基础上，我们进一步探讨渐开线与渐伸线在曲面论中的推广。当基曲线不再是平面曲线，而是空间曲线时，渐开线与渐伸线的概念可扩展至三维欧氏空间。 空间曲线的渐开线与渐伸线定义 设空间曲线 \( C: \mathbf{r}(s) \)（以弧长 \( s \) 为参数）具有非零曲率 \( \kappa(s) \)。其单位切向量为 \( \mathbf{T} \)，主法向量为 \( \mathbf{N} \)，副法向量为 \( \mathbf{B} \)。曲线 \( C \) 的渐开线定义为满足以下条件的曲线 \( \mathbf{r}_ i(s) \)： \[ \mathbf{r}_ i(s) = \mathbf{r}(s) + (c - s)\mathbf{T}(s), \] 其中 \( c \) 为常数。渐开线的切向量与基曲线的副法向量 \( \mathbf{B} \) 平行，表明渐开线始终垂直于基曲线的主法向量。 渐开线的曲率与挠率 对渐开线求导可得： \[ \frac{d\mathbf{r}_ i}{ds} = (c - s)\kappa(s)\mathbf{N}(s). \] 其曲率 \( \kappa_ i \) 与基曲线曲率 \( \kappa \) 和挠率 \( \tau \) 满足： \[ \kappa_ i = \frac{\sqrt{\kappa^2 + \tau^2}}{|c - s|\kappa}, \quad \tau_ i = \frac{d}{ds}\left(\frac{\tau}{\kappa}\right). \] 这表明渐开线的几何特性由基曲线的曲率和挠率共同决定。 渐伸线的构造与性质 渐伸线 \( \mathbf{r}_ e(s) \) 通过沿基曲线切方向移动固定距离构造： \[ \mathbf{r}_ e(s) = \mathbf{r}(s) + \lambda\mathbf{T}(s), \] 其中 \( \lambda \) 为常数。渐伸线的曲率中心轨迹与基曲线的密切球面相关，其曲率半径 \( \rho_ e \) 满足： \[ \rho_ e = \frac{(1 + \lambda^2\kappa^2)^{3/2}}{|\lambda|\kappa^2}. \] 渐开线与渐伸线的对偶性 在空间中，渐开线与渐伸线构成一对互逆变换：若一条曲线是另一条的渐开线，则后者是前者的渐伸线。这种对偶性可通过切向量场的积分与微分关系体现，并关联于曲线论的弗雷内-塞雷公式。 应用示例：圆柱螺旋线的渐开线 以圆柱螺旋线 \( \mathbf{r}(s) = (a\cos s, a\sin s, bs) \) 为例，其渐开线为： \[ \mathbf{r}_ i(s) = \left(a\cos s + \frac{(c - s)a\sin s}{\sqrt{a^2 + b^2}}, a\sin s - \frac{(c - s)a\cos s}{\sqrt{a^2 + b^2}}, bs + \frac{(c - s)b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right). \] 该渐开线是锥面螺旋，其曲率与挠率之比恒为常数，体现了空间渐开线的特殊几何结构。 通过以上分析，可见空间渐开线与渐伸线的理论丰富了曲线论的内容，并为工程中的螺旋曲面设计提供了数学基础。