随机变量的变换的Wald检验

我将为您详细讲解Wald检验的相关知识，按照从基础概念到具体应用的逻辑顺序展开：

1. 基本概念
   Wald检验是参数显著性检验的一种方法，用于检验某个参数是否等于特定值。其核心思想是：当原假设成立时，参数估计量与其假设值之间的差异应当很小。具体来说，若参数θ的估计量为θ̂，原假设H₀: θ = θ₀，则检验统计量基于(θ̂ - θ₀)的标准化形式构建。

2. 检验统计量构造
   在单参数情况下，Wald统计量的形式为：
   W = (θ̂ - θ₀)² / Var(θ̂)
   其中Var(θ̂)是参数估计量的方差。当使用最大似然估计时，Var(θ̂)可近似为Fisher信息的倒数。在多参数情况下，检验统计量推广为二次型：
   W = (θ̂ - θ₀)ᵀ[I(θ̂)](θ̂ - θ₀)
   其中I(θ̂)是Fisher信息矩阵。

3. 渐近分布理论
   在原假设成立的条件下，Wald统计量具有重要的分布性质：当样本量n→∞时，W依分布收敛于自由度为k的卡方分布（k为被检验参数的个数）。这个渐近性质使得我们可以在大样本情况下计算p值，具体为：
   p = P(χ²_k > W_obs)
   其中W_obs是实际观测到的Wald统计量值。

4. 实现步骤详解

• 首先基于样本数据计算参数的最大似然估计θ̂
• 计算估计量的方差协方差矩阵，通常采用观测Fisher信息矩阵的逆
• 构造Wald统计量W
• 将W与卡方分布的分位数比较，做出统计推断

5. 应用注意事项
   Wald检验在实际应用中需注意：①小样本时可能不够精确；②对参数化形式敏感，不同参数化可能得到不同结果；③在复杂模型中，方差估计的准确性直接影响检验效能。与似然比检验、得分检验相比，Wald检验只需计算无约束模型，但依赖参数估计的渐近正态性。

6. 扩展应用
   Wald检验可推广到广义线性模型、生存分析等场景。在检验线性假设H₀: Cθ = d时，统计量为：
   W = (Cθ̂ - d)ᵀ[C I(θ̂)⁻¹Cᵀ]⁻¹(Cθ̂ - d)
   这种形式在回归分析中尤为常用，可用于检验多个系数的联合显著性。