曲面的共轭网 我们先从曲面的参数表示开始。设曲面 \( S \) 由参数方程 \( \mathbf{r}(u,v) \) 给出，其中 \( u \) 和 \( v \) 是曲纹坐标。曲面的第一基本形式是 \( I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2 \)，其中 \( E = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ u \)，\( F = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ v \)，\( G = \mathbf{r}_ v \cdot \mathbf{r}_ v \)。第一基本形式描述了曲面上的内蕴度量，比如弧长、角度等。 接下来，考虑曲面上两条曲线族。如果曲面上有两族曲线，使得在每一点，这两族曲线的切线方向不同，则它们构成一个坐标网。特别地，如果这个坐标网是正交的，即 \( F = 0 \)，那么它就是正交坐标网。但更一般地，我们考虑共轭的方向。 在曲面上一点 \( P \)，考虑两个切方向 \( d\mathbf{r} \) 和 \( \delta\mathbf{r} \)，它们分别对应于参数的微小变化 \( (du, dv) \) 和 \( (\delta u, \delta v) \)。这两个方向称为共轭的，如果它们满足： \[ L\,du\,\delta u + M(du\,\delta v + dv\,\delta u) + N\,dv\,\delta v = 0 \] 其中 \( L, M, N \) 是第二基本形式的系数，\( L = \mathbf{r} {uu} \cdot \mathbf{n} \)，\( M = \mathbf{r} {uv} \cdot \mathbf{n} \)，\( N = \mathbf{r}_ {vv} \cdot \mathbf{n} \)，而 \( \mathbf{n} \) 是单位法向量。这个条件来源于第二基本形式 \( II = L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2 \) 在两组微分上的双线性形式。 现在，如果曲面上有两族曲线，它们构成一个坐标网，即 \( u \)-曲线和 \( v \)-曲线，并且在这个坐标网下，每一点处 \( u \)-曲线的切方向与 \( v \)-曲线的切方向是共轭的，那么这个坐标网就称为 共轭网 。具体来说，对于 \( u \)-曲线，\( dv = 0 \)，切方向为 \( \mathbf{r}_ u \)；对于 \( v \)-曲线，\( du = 0 \)，切方向为 \( \mathbf{r}_ v \)。共轭条件要求： \[ M = 0 \] 因为当 \( dv = 0 \) 和 \( \delta u = 0 \) 时，共轭条件化为 \( M\,du\,\delta v = 0 \)，对任意 \( du, \delta v \) 成立，所以 \( M = 0 \)。因此，在共轭网中，第二基本形式的混合系数 \( M = 0 \)。 共轭网的一个重要性质是，它与曲面的渐近方向有关。渐近方向是满足 \( II = 0 \) 的方向，即自共轭的方向。如果坐标网是共轭的，并且其中一族曲线是渐近线（即 \( L = 0 \) 或 \( N = 0 \)），那么另一族曲线也必须是渐近线，或者满足特定条件。实际上，如果 \( u \)-曲线是渐近线，则 \( L = 0 \)，又因为 \( M = 0 \)，所以第二基本形式简化为 \( II = N\,dv^2 \)。此时，\( v \)-曲线的法曲率为 \( k_ n^{(v)} = N/G \)，不一定为零。 共轭网在曲面论中有广泛应用，例如在曲面的变形、极小曲面和等距映射的研究中。一个曲面可以有无限多个共轭网，但通常我们关注那些与曲面的主方向或渐近方向相关的特殊共轭网。 总结来说，曲面的共轭网是由两族曲线构成的坐标网，使得每一点处两族曲线的切方向关于第二基本形式共轭，即满足 \( M = 0 \)。这个条件简化了曲面的几何分析，并在许多几何问题中起到关键作用。