博雷尔-σ-代数的柱集生成
我将详细讲解博雷尔-σ-代数的柱集生成这一概念。让我们从基础开始，逐步深入。
第一步：回顾乘积空间与柱集的基本定义
设 \((X_i, \mathcal{F}_i)_{i \in I}\) 是一族可测空间，其中 \(I\) 是指标集（可能无限）。乘积空间定义为：
\[X = \prod_{i \in I} X_i \]
即所有函数 \(x: I \to \bigcup_{i \in I} X_i\) 满足 \(x(i) \in X_i\) 的集合。
柱集（cylinder set）是形如：
\[C = \{ x \in X : (x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_n}) \in B \} \]
的集合，其中：
- \(\{i_1, i_2, \dots, i_n\} \subset I\) 是有限子集
- \(B \in \mathcal{F}_{i_1} \otimes \mathcal{F}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \mathcal{F}_{i_n}\) 是有限维可测集
等价地，柱集可写为：
\[C = \pi_J^{-1}(B) \]
其中 \(J \subset I\) 有限，\(\pi_J: X \to \prod_{j \in J} X_j\) 是投影映射，\(B \in \bigotimes_{j \in J} \mathcal{F}_j\)。
第二步：柱集生成的σ-代数
所有柱集的集合记为 \(\mathcal{C}\)。由柱集生成的σ-代数定义为：
\[\sigma(\mathcal{C}) = \bigcap \{ \mathcal{A} : \mathcal{A} \text{ 是 } X \text{ 上的σ-代数且 } \mathcal{C} \subset \mathcal{A} \} \]
这就是乘积σ-代数，记为：
\[\bigotimes_{i \in I} \mathcal{F}_i = \sigma(\mathcal{C}) \]
第三步：博雷尔情形的特殊化
当每个 \(X_i\) 是拓扑空间且 \(\mathcal{F}_i = \mathcal{B}(X_i)\) 是博雷尔σ-代数时，我们考虑乘积拓扑空间 \(X = \prod_{i \in I} X_i\) 配备乘积拓扑。
关键结果是：
\[\mathcal{B}(X) = \bigotimes_{i \in I} \mathcal{B}(X_i) \]
当且仅当指标集 \(I\) 可数，或者每个 \(X_i\) 是第二可数的。
第四步：有限维与无限维的差异
对于有限乘积（\(I\) 有限），结论总是成立：
\[\mathcal{B}(X_1 \times \cdots \times X_n) = \mathcal{B}(X_1) \otimes \cdots \otimes \mathcal{B}(X_n) \]
对于无限乘积，情况更复杂。如果 \(I\) 不可数，且每个 \(X_i\) 是非平凡的，则：
\[\mathcal{B}(X) \supsetneq \bigotimes_{i \in I} \mathcal{B}(X_i) \]
右端严格小于左端。
第五步：技术细节与证明思路
证明的关键步骤：
- 柱集是乘积拓扑中的开集（当 \(B\) 是开集时），因此：
\[\bigotimes_{i \in I} \mathcal{B}(X_i) \subset \mathcal{B}(X) \]
- 当 \(I\) 可数时，利用可数基证明反向包含。设 \(\{U_{i,n}\}_{n \in \mathbb{N}}\) 是 \(X_i\) 的拓扑基，则：
\[\{ \pi_i^{-1}(U_{i,n}) : i \in I, n \in \mathbb{N} \} \]
生成 \(\mathcal{B}(X)\)，且每个 \(\pi_i^{-1}(U_{i,n})\) 是柱集。
- 当 \(I\) 不可数时，构造反例：考虑对角线集 \(D = \{ x \in X : x_i = x_j \text{ 对所有 } i,j \in I \}\)。\(D\) 是闭集（因此博雷尔可测），但不在乘积σ-代数中。
第六步：应用与意义
柱集生成的重要性体现在：
-
测度构造：在无穷维空间中，测度通常先在柱集上定义，然后延拓到整个σ-代数。
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随机过程：随机过程 \(X_t\) 的有限维分布决定了柱集上的测度，科尔莫戈罗夫延拓定理保证其唯一延拓。
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高斯测度：在无穷维空间中，高斯测度由均值和协方差在柱集上的限制确定。
柱集生成的博雷尔σ-代数为研究无穷维空间的分析与概率提供了基础框架。