数值双曲型方程的随机Galerkin方法
- 随机偏微分方程基础
在科学与工程中，许多问题包含不确定性（如随机边界条件或参数）。这类问题需用随机偏微分方程（SPDE） 描述。例如，双曲型SPDE的一般形式为：
\[ u_t + \nabla \cdot \mathbf{f}(u, \omega) = 0, \quad \omega \in \Omega \]
其中 \(\omega\) 是概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 中的随机变量，解 \(u\) 依赖于空间、时间及随机性。
- 随机场的离散表示
通过广义多项式混沌（gPC） 展开，将随机解近似为：
\[ u(x, t, \omega) \approx \sum_{k=0}^P \hat{u}_k(x, t) \Phi_k(\xi(\omega)) \]
其中 \(\{\Phi_k\}\) 是正交多项式基（如Hermite/Legendre多项式），\(\xi\) 是随机向量，\(P\) 由截断阶数决定。gPC基满足正交性：\(\mathbb{E}[\Phi_i \Phi_j] = \delta_{ij}\)。
- Galerkin投影原理
将SPDE的残差投影到gPC基上，强制残差与所有基函数正交：
\[ \mathbb{E}\left[ \left( u_t + \nabla \cdot \mathbf{f}(u, \omega) \right) \Phi_k(\xi) \right] = 0, \quad k=0,1,\dots,P \]
利用gPC展开式，将随机方程转化为\((P+1)\)个确定性耦合方程组：
\[ \frac{\partial \hat{u}_k}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbb{E}\left[ \mathbf{f}\left( \sum_{j=0}^P \hat{u}_j \Phi_j, \xi \right) \Phi_k \right] = 0 \]
- 数值通量计算
对于非线性通量 \(\mathbf{f}(u, \omega)\)，需计算随机投影后的通量：
\[ \hat{\mathbf{f}}_k = \mathbb{E}\left[ \mathbf{f}\left( \sum_{j=0}^P \hat{u}_j \Phi_j, \xi \right) \Phi_k \right] \]
此积分通常通过高斯求积或伪谱法近似，在随机空间选取配点计算期望值。
- 确定性方程组求解
投影后得到确定性双曲方程组：
\[ \frac{\partial \hat{\mathbf{U}}}{\partial t} + \nabla \cdot \hat{\mathbf{F}}(\hat{\mathbf{U}}) = 0 \]
其中 \(\hat{\mathbf{U}} = (\hat{u}_0, \dots, \hat{u}_P)^T\)。采用传统数值方法（如有限体积法或间断Galerkin法）求解该扩展系统，注意通量耦合可能增加计算复杂度。
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误差与收敛性分析
- 随机误差：依赖于gPC展开阶数，若解足够光滑，误差按谱指数收敛。
- 空间/时间误差：与确定性方程的离散格式相关（如TVD/WENO格式保持稳定性）。
- 维度灾难：随机维度高时需结合稀疏网格或降阶模型。
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应用场景
适用于不确定性传播问题，如随机介质中的波传播、含随机参数的气动力学、金融模型中的随机波动率问题等。