随机变量的变换的Wald等式 我将为您详细讲解Wald等式，这是一个在概率论和随机过程中非常重要的工具，特别适用于随机和的分析。 1. Wald等式的背景与定义 Wald等式（Wald's equation）描述了独立同分布随机变量序列的部分和（在随机停止时）的期望值。设{Xₙ}是一个独立同分布的随机变量序列，E[ X₁ ] = μ，N是一个停时（stopping time），即事件{N = n}仅依赖于X₁,...,Xₙ。Wald等式指出，在适当条件下： E[ ∑_ {i=1}^N Xᵢ] = E[ N ]·μ 2. 停时的概念详解 停时是理解Wald等式的关键。停时N是一个取正整数值的随机变量，满足对任意n，事件{N ≤ n}完全由X₁,...,Xₙ决定（即{X₁,...,Xₙ}可测）。 例子：在赌博中，N可以表示"当累计收益达到100元时停止游戏"的时刻，这个停止规则只依赖于到当前时刻为止的观察值。 3. Wald等式的严格条件 Wald等式成立需要满足以下条件之一： E[ N] < ∞ 且 E[ |X₁|] < ∞ N与{Xₙ}独立，且E[ |X₁|] < ∞ 存在常数c使得P(|Xₙ| ≤ c) = 1对所有n成立 4. Wald等式的证明思路 考虑部分和Sₙ = ∑ {i=1}^n Xᵢ。我们可以将S_ N表示为： S_ N = ∑ {n=1}^∞ Sₙ·I_ {N=n} 其中I_ {N=n}是指示函数。通过交换期望和求和（需要上述条件保证可交换性），得到： E[ S_ N] = ∑ {n=1}^∞ E[ Sₙ·I {N=n} ] 由于{N = n}仅依赖于X₁,...,Xₙ，而X_ {n+1},X_ {n+2},...与之独立，可以证明E[ Xᵢ·I_ {N=n}] = 0对i > n，最终推导出E[ S_ N] = μ·E[ N ]。 5. Wald等式的应用场景 Wald等式在多个领域有重要应用： 序贯分析：在假设检验中确定样本量 排队论：分析顾客在系统中的总时间 风险理论：计算保险公司在破产前的总赔付 随机游走：分析首次通过时间的期望收益 6. 扩展与变体 第二Wald等式：当E[ X₁] = 0且E[ X₁²] < ∞时，E[ S_ N²] = E[ N]·E[ X₁² ] 鞅的Wald等式：当{Xₙ}是鞅差序列时的推广 非独立情形的推广：对于某些相关序列的扩展 Wald等式通过将随机和的期望与停止时间的期望联系起来，为分析随机过程提供了强有力的工具，特别是在涉及随机停止规则的情景中。