复变函数的茹利亚集与法图集的动力学性质 让我为您详细讲解复变函数动力系统中这个重要概念。 1. 基本定义与背景 茹利亚集和法图集是复动力系统中的核心概念，研究的是有理函数在复平面上迭代时点的渐近行为。给定一个复有理函数f:ℂ̂→ℂ̂（ℂ̂表示黎曼球面），我们将复平面分为两个不相交的子集：法图集F(f)和茹利亚集J(f)。 2. 法图集的定义与性质 法图集F(f)定义为所有具有稳定迭代行为的初始点组成的集合： 点z∈F(f)如果存在邻域U∋z，使得函数迭代序列{fⁿ}在U上正规（即等度连续） 法图集是开集，由多个连通分支组成 在法图集上，迭代表现出规则、可预测的行为 法图集包含所有吸引周期轨道、超吸引周期轨道和有理中性周期轨道的吸引域 3. 茹利亚集的定义与特性 茹利亚集J(f)是法图集的补集： J(f) = ℂ̂ \ F(f) 茹利亚集是闭集，且在f下完全不变：f(J(f)) = J(f) = f⁻¹(J(f)) 在茹利亚集上，迭代表现出混沌、对初始条件敏感依赖的特性 茹利亚集要么是连通集，要么具有不可数无穷多个连通分支 4. 茹利亚集的等价刻画 茹利亚集可以通过多种等价方式定义： 排斥周期点的闭包：J(f) = {所有排斥周期点的闭包} 非正规点集：迭代序列{fⁿ}不正规的点集 斥子集：在J(f)上存在常数c>1和正整数k，使得|(fᵏ)'(z)| > c 5. 法图集分量的分类 法图集的每个连通分支（称为法图域）在迭代下具有一致行为： 周期域：存在整数p>0使得fᵖ(D) = D 游荡域：不是周期的法图域 不变域：f(D) = D（即p=1的周期域） 6. 周期域的经典分类 根据周期域在周期映射下的动力学行为，可分为： 吸引域：包含吸引周期点 超吸引域：包含超吸引周期点（导数为零） 抛物域：包含有理中性周期点（导数为单位根） 西格尔盘：包含无理中性周期点，共形共轭于旋转 赫曼环：双周期环域，共形共轭于无理旋转 7. 茹利亚集的拓扑性质 完全性：J(f)没有孤立点（一定是完美集） 无处稠密性或连通性：要么无处稠密，要么是整个黎曼球面 自相似性：在适当尺度下具有分形结构 对于多项式，J(f)是连通的当且仅当所有临界点都有界 8. 动力学性质 传递性：在J(f)上存在稠密轨道 对初始条件的敏感依赖性 周期点在J(f)中稠密 拓扑混合性：对任意非空开集U,V⊂J(f)，存在N使得fⁿ(U)∩V≠∅对所有n≥N成立 9. 经典例子 二次多项式f(z)=z²+c： 当c=0时，J(f)是单位圆周 当|c|较小时，J(f)是拟圆周 当c在芒德布罗集外时，J(f)是康托集 有理函数f(z)=z²/(z²+2)：J(f)是整个黎曼球面 10. 茹利亚集的几何性质 分形维数：通常是分数维数，反映了集的不规则性 双曲性：如果f在J(f)上双曲，则动力学行为相对简单 测度：对于许多有理函数，J(f)的勒贝格测度为零 这个理论将复分析、动力系统和几何学紧密结合，为理解复平面上的混沌现象提供了深刻的数学框架。