博雷尔-σ-代数的投影性质

字数 2296 2025-11-18 09:56:40

博雷尔-σ-代数的投影性质

我们先从投影的基本概念开始。在拓扑学中，若 \(X\) 和 \(Y\) 是拓扑空间，则乘积空间 \(X \times Y\) 到第一个坐标的投影映射 \(\pi_X : X \times Y \to X\) 定义为 \(\pi_X(x, y) = x\)。类似地可定义第二个坐标的投影 \(\pi_Y\)。当 \(X\) 和 \(Y\) 装备了博雷尔-σ-代数 \(\mathcal{B}(X)\) 和 \(\mathcal{B}(Y)\) 时，一个自然的问题是：投影映射是否可测？更一般地，乘积σ-代数 \(\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y)\) 与 \(\mathcal{B}(X \times Y)\) 有何关系？

第一步：投影映射的可测性
对于任意博雷尔集 \(A \in \mathcal{B}(X)\)，考虑原像 \(\pi_X^{-1}(A) = A \times Y\)。由于 \(A \times Y\) 属于乘积σ-代数 \(\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y)\)，这说明投影映射 \(\pi_X\) 是 \((\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y), \mathcal{B}(X))\)-可测的。同理，\(\pi_Y\) 也是可测的。这一性质是投影映射最基本的可测性特征。

第二步：乘积博雷尔σ-代数的结构
回忆乘积σ-代数 \(\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y)\) 是由所有"可测矩形" \(A \times B\)（其中 \(A \in \mathcal{B}(X), B \in \mathcal{B}(Y)\)）生成的σ-代数。而乘积拓扑空间 \(X \times Y\) 的博雷尔σ-代数 \(\mathcal{B}(X \times Y)\) 是由乘积拓扑中的所有开集生成的。一般来说，有包含关系：

\[\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y) \subseteq \mathcal{B}(X \times Y) \]

当 \(X\) 和 \(Y\) 是第二可数空间时，这个包含关系成为等式。但在更一般的拓扑空间中，这两个σ-代数可能不同。

第三步：截口的可测性
设 \(E \subseteq X \times Y\) 是乘积空间中的集合。对于固定的 \(x \in X\)，定义 \(E\) 在 \(x\) 处的截口：

\[E_x = \{ y \in Y : (x, y) \in E \} \]

类似地，对于固定的 \(y \in Y\)，定义 \(E^y = \{ x \in X : (x, y) \in E \}\)。

关键结论：若 \(E \in \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y)\)，则对于任意 \(x \in X\)，有 \(E_x \in \mathcal{B}(Y)\)；对于任意 \(y \in Y\)，有 \(E^y \in \mathcal{B}(X)\)。这一性质是富比尼定理的基础。

第四步：博雷尔集的投影不一定是博雷尔集
一个重要的反例是：存在 \(\mathbb{R}^2\) 中的博雷尔集 \(A\)，其投影 \(\pi_X(A)\) 不是 \(\mathbb{R}\) 中的博雷尔集。这一事实由苏斯林发现，它表明博雷尔集在连续映射下的像不一定保持博雷尔可测性。具体构造涉及解析集理论，但结论本身很重要：投影运算不保持博雷尔可测性。

第五步：投影定理与可测选择
尽管投影不保持博雷尔可测性，但有一个重要结果：若 \(E \in \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y)\)，则其投影 \(\pi_X(E)\) 是普遍可测集。这意味着对于 \(X\) 上的任何博雷尔概率测度 \(\mu\)，集合 \(\pi_X(E)\) 关于 \(\mu\) 的完备化σ-代数是可测的。

更一般地，考虑可测选择问题：给定可测对应 \(F: X \to 2^Y\)，是否存在可测选择函数 \(f: X \to Y\) 使得对几乎所有 \(x\)，有 \(f(x) \in F(x)\)？当图 \(\mathrm{Gr}(F) = \{(x, y) : y \in F(x)\}\) 是乘积空间中的博雷尔集时，在某些正则性条件下存在可测选择。

第六步：在动力系统中的应用
在遍历理论和动力系统中，投影性质有重要应用。考虑保测动力系统 \((X \times Y, \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y), \mu, T)\)，其中 \(T\) 是乘积空间上的保测变换。通过投影到第一个坐标，我们可以研究因子系统的性质。投影映射将原系统的可测集映为因子系统的可测集，这一性质是构建动力系统分解理论的基础。

博雷尔-σ-代数的投影性质揭示了乘积结构与坐标投影之间的深刻联系，既是测度论中技术性较强的主题，也在泛函分析、随机过程和动力系统等领域有广泛应用。

博雷尔-σ-代数的投影性质我们先从投影的基本概念开始。在拓扑学中，若 \( X \) 和 \( Y \) 是拓扑空间，则乘积空间 \( X \times Y \) 到第一个坐标的投影映射 \( \pi_ X : X \times Y \to X \) 定义为 \( \pi_ X(x, y) = x \)。类似地可定义第二个坐标的投影 \( \pi_ Y \)。当 \( X \) 和 \( Y \) 装备了博雷尔-σ-代数 \( \mathcal{B}(X) \) 和 \( \mathcal{B}(Y) \) 时，一个自然的问题是：投影映射是否可测？更一般地，乘积σ-代数 \( \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y) \) 与 \( \mathcal{B}(X \times Y) \) 有何关系？第一步：投影映射的可测性对于任意博雷尔集 \( A \in \mathcal{B}(X) \)，考虑原像 \( \pi_ X^{-1}(A) = A \times Y \)。由于 \( A \times Y \) 属于乘积σ-代数 \( \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y) \)，这说明投影映射 \( \pi_ X \) 是 \( (\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y), \mathcal{B}(X)) \)-可测的。同理，\( \pi_ Y \) 也是可测的。这一性质是投影映射最基本的可测性特征。第二步：乘积博雷尔σ-代数的结构回忆乘积σ-代数 \( \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y) \) 是由所有"可测矩形" \( A \times B \)（其中 \( A \in \mathcal{B}(X), B \in \mathcal{B}(Y) \)）生成的σ-代数。而乘积拓扑空间 \( X \times Y \) 的博雷尔σ-代数 \( \mathcal{B}(X \times Y) \) 是由乘积拓扑中的所有开集生成的。一般来说，有包含关系： \[ \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y) \subseteq \mathcal{B}(X \times Y) \] 当 \( X \) 和 \( Y \) 是第二可数空间时，这个包含关系成为等式。但在更一般的拓扑空间中，这两个σ-代数可能不同。第三步：截口的可测性设 \( E \subseteq X \times Y \) 是乘积空间中的集合。对于固定的 \( x \in X \)，定义 \( E \) 在 \( x \) 处的截口： \[ E_ x = \{ y \in Y : (x, y) \in E \} \] 类似地，对于固定的 \( y \in Y \)，定义 \( E^y = \{ x \in X : (x, y) \in E \} \)。关键结论：若 \( E \in \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y) \)，则对于任意 \( x \in X \)，有 \( E_ x \in \mathcal{B}(Y) \)；对于任意 \( y \in Y \)，有 \( E^y \in \mathcal{B}(X) \)。这一性质是富比尼定理的基础。第四步：博雷尔集的投影不一定是博雷尔集一个重要的反例是：存在 \( \mathbb{R}^2 \) 中的博雷尔集 \( A \)，其投影 \( \pi_ X(A) \) 不是 \( \mathbb{R} \) 中的博雷尔集。这一事实由苏斯林发现，它表明博雷尔集在连续映射下的像不一定保持博雷尔可测性。具体构造涉及解析集理论，但结论本身很重要：投影运算不保持博雷尔可测性。第五步：投影定理与可测选择尽管投影不保持博雷尔可测性，但有一个重要结果：若 \( E \in \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y) \)，则其投影 \( \pi_ X(E) \) 是普遍可测集。这意味着对于 \( X \) 上的任何博雷尔概率测度 \( \mu \)，集合 \( \pi_ X(E) \) 关于 \( \mu \) 的完备化σ-代数是可测的。更一般地，考虑可测选择问题：给定可测对应 \( F: X \to 2^Y \)，是否存在可测选择函数 \( f: X \to Y \) 使得对几乎所有 \( x \)，有 \( f(x) \in F(x) \)？当图 \( \mathrm{Gr}(F) = \{(x, y) : y \in F(x)\} \) 是乘积空间中的博雷尔集时，在某些正则性条件下存在可测选择。第六步：在动力系统中的应用在遍历理论和动力系统中，投影性质有重要应用。考虑保测动力系统 \( (X \times Y, \mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(Y), \mu, T) \)，其中 \( T \) 是乘积空间上的保测变换。通过投影到第一个坐标，我们可以研究因子系统的性质。投影映射将原系统的可测集映为因子系统的可测集，这一性质是构建动力系统分解理论的基础。博雷尔-σ-代数的投影性质揭示了乘积结构与坐标投影之间的深刻联系，既是测度论中技术性较强的主题，也在泛函分析、随机过程和动力系统等领域有广泛应用。