亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理的推广

亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理的推广是在经典标量波理论基础上，通过引入更一般的边界条件、非均匀介质或矢量波情形，对原定理进行扩展的重要理论体系。让我们从基础开始逐步深入：

1. 经典亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理回顾

   • 该定理将无源区域内任意点P的波场ψ(P)表示为边界上场值及其法向导数的积分：
     ψ(P) = ∮[ψ(∂G/∂n) - G(∂ψ/∂n)] dS
     其中G是自由空间格林函数，∂/∂n表示法向导数
   • 适用条件要求：单色标量波、均匀介质、封闭曲面内无源

2. 推广一：非均匀介质情形

   • 当介质折射率n(r)空间变化时，需引入修正的格林函数G_m
   • 推广形式为：ψ(P) = ∮[ψ(∂G_m/∂n) - G_m(∂ψ/∂n)] dS + ∫V G_m ∇²ψ dV
   • 体积分项表征介质非均匀性导致的等效源分布
   • 格林函数G_m现在满足修正的亥姆霍兹方程：∇²G_m + k²n²(r)G_m = -δ(r-r')

3. 推广二：部分相干波场

   • 对于部分相干光，需用互相干函数Γ(r1,r2)替代波函数ψ
   • 推广形式涉及双重曲面积分：
     Γ(P1,P2) = ∮∮[Γ(Q1,Q2) ∂²G/∂n1∂n2 - ...] dS1dS2
   • 这一推广为处理热光源等非单色情形提供了理论基础

4. 推广三：电磁矢量波情形

   • 将标量场ψ替换为电场E和磁场H
   • 引入电磁场的并矢格林函数G̿
   • 推广公式为矢量形式：
     E(P) = ∮[iωμ(n×H)·G̿ + (n×E)·(∇×G̿)] dS
   • 这一形式严格满足麦克斯韦方程组的矢量特性

5. 推广四：时域形式

   • 将频域定理推广到时域，引入推迟时间概念
   • 时域推广形式：
     ψ(r,t) = 1/4π ∮[1/R ∂ψ/∂n - ψ ∂/∂n(1/R) - 1/cR ∂R/∂n ∂ψ/∂τ] dS
   • 其中τ = t - R/c为推迟时间，R为源点到场点距离

6. 推广五：各向异性介质

   • 当介质介电常数ε为张量时，需使用各向异性格林函数
   • 积分核函数变为与方向相关的复杂形式
   • 这一推广在晶体光学和等离子体物理中有重要应用

这些推广形式极大地扩展了原定理的适用范围，使其能够处理现代光学和声学中遇到的各种复杂边界条件和介质特性，为计算复杂系统中的波传播问题提供了统一的理论框架。