博赫纳-里斯平均

字数 2138 2025-11-18 08:53:59

博赫纳-里斯平均

我们先理解这个概念出现的背景。傅里叶级数理论中，对于可积函数 $f \in L^1(\mathbb{T})$，其傅里叶级数的部分和 $S_N f(x)$ 可能不收敛到 $f(x)$。博赫纳-里斯平均是一种更一般的求和法，用于研究傅里叶级数在何种意义下能表示原函数。

1. 基本定义

设 $f \in L^1(\mathbb{T})$，其傅里叶系数为 $\hat{f}(k) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-ikt} dt$。对于 $\delta > 0$，博赫纳-里斯平均定义为：

\[\sigma^\delta_N f(x) = \sum_{|k| \le N} \left( 1 - \frac{|k|^2}{N^2} \right)^\delta \hat{f}(k) e^{ikx} \]

这里 $(1 - |k|^2/N^2)^\delta$ 称为博赫纳-里斯核。当 $\delta = 0$ 时，这就是普通的傅里叶部分和 $S_N f(x)$。

2. 积分表示

通过卷积形式，我们可以将博赫纳-里斯平均表示为：

\[\sigma^\delta_N f(x) = (f * K_N^\delta)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t) K_N^\delta(t) dt \]

其中博赫纳-里斯核 $K_N^\delta(t)$ 的显式表达式为：

\[K_N^\delta(t) = \sum_{|k| \le N} \left( 1 - \frac{|k|^2}{N^2} \right)^\delta e^{ikt} \]

当 $\delta > 0$ 时，这个核具有更好的正性和逼近性质。

3. 特殊情形：费耶尔平均

当 $\delta = 1$ 时，这就是经典的费耶尔平均：

\[\sigma_N f(x) = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} S_n f(x) \]

费耶尔核的显式表达式为：

\[K_N(t) = \frac{1}{N} \left( \frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)} \right)^2 \]

这是一个非负核，且满足 $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} K_N(t) dt = 1$。

4. 收敛性定理

定理 1（$L^p$ 收敛）：对于 $1 \le p < \infty$ 和 $f \in L^p(\mathbb{T})$，当 $\delta > 0$ 时，有

\[\lim_{N \to \infty} \|\sigma^\delta_N f - f\|_p = 0 \]

特别地，当 $p = 1$ 时，这给出了 $L^1$ 空间中的收敛结果。

定理 2（几乎处处收敛）：对于 $f \in L^p(\mathbb{T})$，其中 $1 < p < \infty$，当 $\delta > 0$ 时，有

\[\lim_{N \to \infty} \sigma^\delta_N f(x) = f(x) \quad \text{a.e.} \]

当 $\delta = 0$（即普通部分和）时，这个结论一般不成立。

5. 临界指标与收敛性

收敛性强烈依赖于参数 $\delta$：

当 $\delta > \frac{n-1}{2}$（在 $\mathbb{T}^n$ 上）时，博赫纳-里斯平均在 $L^p$ 中收敛，其中 $1 \le p \le \infty$
当 $\delta \le \frac{n-1}{2}$ 时，收敛性需要更严格的 $p$ 值范围

在一维情形 ($n=1$) 中，临界指标是 $\delta = 0$。

6. 与球面平均的联系

博赫纳-里斯平均可以看作是欧几里得空间中球面平均的离散版本。在 $\mathbb{R}^n$ 中，博赫纳-里斯平均定义为：

\[S^\delta_t f(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \left( 1 - \frac{|\xi|^2}{t^2} \right)^\delta_+ \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \cdot \xi} d\xi \]

其中 $(a)_+ = \max(a, 0)$ 表示正部。

7. 应用与推广

博赫纳-里斯平均在以下方面有重要应用：

傅里叶级数的求和理论
偏微分方程的适定性问题
调和分析中的乘子理论
函数空间的刻画

定理 3（乘子刻画）：算子 $T^\delta_N: f \mapsto \sigma^\delta_N f$ 是 $L^p(\mathbb{T})$ 上的乘子算子，其乘子为 $m^\delta_N(k) = (1 - |k|^2/N^2)^\delta_+$。

博赫纳-里斯平均提供了研究傅里叶分析中各种收敛性问题的一个统一框架，是理解函数通过其傅里叶级数如何被逼近的重要工具。

博赫纳-里斯平均我们先理解这个概念出现的背景。傅里叶级数理论中，对于可积函数 $f \in L^1(\mathbb{T})$，其傅里叶级数的部分和 $S_ N f(x)$ 可能不收敛到 $f(x)$。博赫纳-里斯平均是一种更一般的求和法，用于研究傅里叶级数在何种意义下能表示原函数。 1. 基本定义设 $f \in L^1(\mathbb{T})$，其傅里叶系数为 $\hat{f}(k) = \frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} f(t) e^{-ikt} dt$。对于 $\delta > 0$，博赫纳-里斯平均定义为： \[ \sigma^\delta_ N f(x) = \sum_ {|k| \le N} \left( 1 - \frac{|k|^2}{N^2} \right)^\delta \hat{f}(k) e^{ikx} \] 这里 $(1 - |k|^2/N^2)^\delta$ 称为博赫纳-里斯核。当 $\delta = 0$ 时，这就是普通的傅里叶部分和 $S_ N f(x)$。 2. 积分表示通过卷积形式，我们可以将博赫纳-里斯平均表示为： \[ \sigma^\delta_ N f(x) = (f * K_ N^\delta)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} f(x-t) K_ N^\delta(t) dt \] 其中博赫纳-里斯核 $K_ N^\delta(t)$ 的显式表达式为： \[ K_ N^\delta(t) = \sum_ {|k| \le N} \left( 1 - \frac{|k|^2}{N^2} \right)^\delta e^{ikt} \] 当 $\delta > 0$ 时，这个核具有更好的正性和逼近性质。 3. 特殊情形：费耶尔平均当 $\delta = 1$ 时，这就是经典的费耶尔平均： \[ \sigma_ N f(x) = \frac{1}{N} \sum_ {n=0}^{N-1} S_ n f(x) \] 费耶尔核的显式表达式为： \[ K_ N(t) = \frac{1}{N} \left( \frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)} \right)^2 \] 这是一个非负核，且满足 $\frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} K_ N(t) dt = 1$。 4. 收敛性定理定理 1 （$L^p$ 收敛）：对于 $1 \le p < \infty$ 和 $f \in L^p(\mathbb{T})$，当 $\delta > 0$ 时，有 \[ \lim_ {N \to \infty} \|\sigma^\delta_ N f - f\|_ p = 0 \] 特别地，当 $p = 1$ 时，这给出了 $L^1$ 空间中的收敛结果。定理 2 （几乎处处收敛）：对于 $f \in L^p(\mathbb{T})$，其中 $1 < p < \infty$，当 $\delta > 0$ 时，有 \[ \lim_ {N \to \infty} \sigma^\delta_ N f(x) = f(x) \quad \text{a.e.} \] 当 $\delta = 0$（即普通部分和）时，这个结论一般不成立。 5. 临界指标与收敛性收敛性强烈依赖于参数 $\delta$：当 $\delta > \frac{n-1}{2}$（在 $\mathbb{T}^n$ 上）时，博赫纳-里斯平均在 $L^p$ 中收敛，其中 $1 \le p \le \infty$ 当 $\delta \le \frac{n-1}{2}$ 时，收敛性需要更严格的 $p$ 值范围在一维情形 ($n=1$) 中，临界指标是 $\delta = 0$。 6. 与球面平均的联系博赫纳-里斯平均可以看作是欧几里得空间中球面平均的离散版本。在 $\mathbb{R}^n$ 中，博赫纳-里斯平均定义为： \[ S^\delta_ t f(x) = \int_ {\mathbb{R}^n} \left( 1 - \frac{|\xi|^2}{t^2} \right)^\delta_ + \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \cdot \xi} d\xi \] 其中 $(a)_ + = \max(a, 0)$ 表示正部。 7. 应用与推广博赫纳-里斯平均在以下方面有重要应用：傅里叶级数的求和理论偏微分方程的适定性问题调和分析中的乘子理论函数空间的刻画定理 3 （乘子刻画）：算子 $T^\delta_ N: f \mapsto \sigma^\delta_ N f$ 是 $L^p(\mathbb{T})$ 上的乘子算子，其乘子为 $m^\delta_ N(k) = (1 - |k|^2/N^2)^\delta_ +$。博赫纳-里斯平均提供了研究傅里叶分析中各种收敛性问题的一个统一框架，是理解函数通过其傅里叶级数如何被逼近的重要工具。