维纳测度
字数 2399 2025-11-18 07:36:14

维纳测度

首先，我们来理解维纳测度是什么。它是在连续函数空间上定义的一种概率测度，直观上描述了布朗运动（或称维纳过程）的路径分布。简单来说，维纳测度告诉我们，一个粒子做布朗运动时，其路径落在某个路径集合中的可能性有多大。

为了建立这个概念，我们从布朗运动的基本性质开始。一个标准的一维布朗运动 \(\{B_t\}_{t \geq 0}\) 是一个随机过程，满足：

  1. \(B_0 = 0\) 几乎必然；
  2. 具有独立增量：对任意 \(0 \leq t_1 < t_2 < \cdots < t_n\)，增量 \(B_{t_2} - B_{t_1}, B_{t_3} - B_{t_2}, \dots, B_{t_n} - B_{t_{n-1}}\) 是相互独立的随机变量；
  3. 具有平稳的正态分布增量：对任意 \(0 \leq s < t\)，增量 \(B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0, t-s)\)，即均值为0，方差为 \(t-s\) 的正态分布；
  4. 路径 \(t \mapsto B_t(\omega)\) 是连续的（对几乎所有的 \(\omega\)）。

现在，我们考虑所有从 \([0, T]\) 到 \(\mathbb{R}\) 的连续函数构成的空间，记作 \(C[0, T]\)，并且要求这些函数在时间0处的取值为0。这个空间 \(C[0, T]\) 就是我们要在其上定义维纳测度的空间。我们通常赋予 \(C[0, T]\) 一致收敛拓扑（由范数 \(\|f\|_{\infty} = \sup_{t \in [0,T]} |f(t)|\) 诱导的度量），使其成为一个完备的可分度量空间。

维纳测度 \(W\) 是定义在 \(C[0, T]\) 上的博雷尔 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{B}(C[0, T])\) 上的一个概率测度。它的定义方式通常是通过其在柱集上的取值来确定的。

一个柱集（或称有限维柱集）是形如以下形式的集合：

\[\{ f \in C[0, T] : (f(t_1), f(t_2), \dots, f(t_n)) \in A \} \]

其中 \(0 < t_1 < t_2 < \dots < t_n \leq T\)，并且 \(A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\) 是一个 \(n\) 维博雷尔集。

在柱集 \(C\) 上，维纳测度 \(W(C)\) 定义为：

\[W(C) = \int_A p(0,0;t_1,x_1) p(t_1,x_1;t_2,x_2) \cdots p(t_{n-1},x_{n-1};t_n,x_n) \, dx_1 dx_2 \cdots dx_n \]

其中 \(p(s,x;t,y)\) 是布朗运动的转移概率密度函数：

\[p(s,x;t,y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi (t-s)}} \exp\left( -\frac{(y-x)^2}{2(t-s)} \right), \quad t > s \]

并且我们约定 \(p(0,0;t_1,x_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t_1}} \exp\left( -\frac{x_1^2}{2t_1} \right)\)。

这个定义是直观的：它给出了路径在时间 \(t_1, t_2, \dots, t_n\) 的位置分别落在集合 \(A\) 的相应投影中的概率，这个概率由布朗运动的有限维分布给出。

根据测度论中的卡拉西奥多里延拓定理，这个定义在柱集代数上的集函数可以唯一地延拓为 \(\mathcal{B}(C[0, T])\) 上的一个概率测度，这个测度就是维纳测度 \(W\)。

维纳测度具有一些重要的性质：

  1. 平移不变性的缺失：与勒贝格测度不同，维纳测度不是平移不变的。如果 \(g \in C[0, T]\) 且 \(g(0) = 0\)，那么平移映射 \(f \mapsto f + g\) 通常会改变测度。然而，如果 \(g\) 是一个绝对连续函数且 \(g' \in L^2[0, T]\)，那么通过吉尔萨诺夫定理，可以描述平移后的测度与原始维纳测度的关系。
  2. 再生成性质：对于 \(0 \leq s < t \leq T\)，在给定 \(B_s = x\) 的条件下，过程 \(\{B_u\}_{s \leq u \leq t}\) 的分布是起始于 \(x\) 的布朗运动的维纳测度。这反映了布朗运动的马尔可夫性。
  3. 二次变差：在维纳测度下，几乎所有的路径都具有有限的二次变差，并且对任意 \(t \in [0, T]\)，有：

\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{2^n} \left| B\left( \frac{i t}{2^n} \right) - B\left( \frac{(i-1) t}{2^n} \right) \right|^2 = t \quad \text{(几乎必然)} \]

这个性质在随机分析中至关重要，例如在伊藤积分的定义中。

维纳测度是随机分析和现代概率论的基石。它使得我们可以将布朗运动的路径视为一个点在一个无限维空间（连续函数空间）中，并在这个空间上使用测度论和泛函分析的工具进行研究，例如在定义和研究随机微分方程、费因曼-卡茨公式以及 Malliavin 分析等领域。

维纳测度 首先，我们来理解维纳测度是什么。它是在连续函数空间上定义的一种概率测度，直观上描述了布朗运动（或称维纳过程）的路径分布。简单来说，维纳测度告诉我们，一个粒子做布朗运动时，其路径落在某个路径集合中的可能性有多大。 为了建立这个概念，我们从布朗运动的基本性质开始。一个标准的一维布朗运动 \( \{B_ t\}_ {t \geq 0} \) 是一个随机过程，满足： \( B_ 0 = 0 \) 几乎必然； 具有独立增量：对任意 \( 0 \leq t_ 1 < t_ 2 < \cdots < t_ n \)，增量 \( B_ {t_ 2} - B_ {t_ 1}, B_ {t_ 3} - B_ {t_ 2}, \dots, B_ {t_ n} - B_ {t_ {n-1}} \) 是相互独立的随机变量； 具有平稳的正态分布增量：对任意 \( 0 \leq s < t \)，增量 \( B_ t - B_ s \sim \mathcal{N}(0, t-s) \)，即均值为0，方差为 \( t-s \) 的正态分布； 路径 \( t \mapsto B_ t(\omega) \) 是连续的（对几乎所有的 \( \omega \)）。 现在，我们考虑所有从 \( [ 0, T] \) 到 \( \mathbb{R} \) 的连续函数构成的空间，记作 \( C[ 0, T] \)，并且要求这些函数在时间0处的取值为0。这个空间 \( C[ 0, T] \) 就是我们要在其上定义维纳测度的空间。我们通常赋予 \( C[ 0, T] \) 一致收敛拓扑（由范数 \( \|f\| {\infty} = \sup {t \in [ 0,T ]} |f(t)| \) 诱导的度量），使其成为一个完备的可分度量空间。 维纳测度 \( W \) 是定义在 \( C[ 0, T] \) 上的博雷尔 \( \sigma \)-代数 \( \mathcal{B}(C[ 0, T ]) \) 上的一个概率测度。它的定义方式通常是通过其在柱集上的取值来确定的。 一个柱集（或称有限维柱集）是形如以下形式的集合： \[ \{ f \in C[ 0, T] : (f(t_ 1), f(t_ 2), \dots, f(t_ n)) \in A \} \] 其中 \( 0 < t_ 1 < t_ 2 < \dots < t_ n \leq T \)，并且 \( A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) 是一个 \( n \) 维博雷尔集。 在柱集 \( C \) 上，维纳测度 \( W(C) \) 定义为： \[ W(C) = \int_ A p(0,0;t_ 1,x_ 1) p(t_ 1,x_ 1;t_ 2,x_ 2) \cdots p(t_ {n-1},x_ {n-1};t_ n,x_ n) \, dx_ 1 dx_ 2 \cdots dx_ n \] 其中 \( p(s,x;t,y) \) 是布朗运动的转移概率密度函数： \[ p(s,x;t,y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi (t-s)}} \exp\left( -\frac{(y-x)^2}{2(t-s)} \right), \quad t > s \] 并且我们约定 \( p(0,0;t_ 1,x_ 1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t_ 1}} \exp\left( -\frac{x_ 1^2}{2t_ 1} \right) \)。 这个定义是直观的：它给出了路径在时间 \( t_ 1, t_ 2, \dots, t_ n \) 的位置分别落在集合 \( A \) 的相应投影中的概率，这个概率由布朗运动的有限维分布给出。 根据测度论中的卡拉西奥多里延拓定理，这个定义在柱集代数上的集函数可以唯一地延拓为 \( \mathcal{B}(C[ 0, T ]) \) 上的一个概率测度，这个测度就是维纳测度 \( W \)。 维纳测度具有一些重要的性质： 平移不变性的缺失 ：与勒贝格测度不同，维纳测度不是平移不变的。如果 \( g \in C[ 0, T] \) 且 \( g(0) = 0 \)，那么平移映射 \( f \mapsto f + g \) 通常会改变测度。然而，如果 \( g \) 是一个绝对连续函数且 \( g' \in L^2[ 0, T ] \)，那么通过吉尔萨诺夫定理，可以描述平移后的测度与原始维纳测度的关系。 再生成性质 ：对于 \( 0 \leq s < t \leq T \)，在给定 \( B_ s = x \) 的条件下，过程 \( \{B_ u\}_ {s \leq u \leq t} \) 的分布是起始于 \( x \) 的布朗运动的维纳测度。这反映了布朗运动的马尔可夫性。 二次变差 ：在维纳测度下，几乎所有的路径都具有有限的二次变差，并且对任意 \( t \in [ 0, T ] \)，有： \[ \lim_ {n \to \infty} \sum_ {i=1}^{2^n} \left| B\left( \frac{i t}{2^n} \right) - B\left( \frac{(i-1) t}{2^n} \right) \right|^2 = t \quad \text{(几乎必然)} \] 这个性质在随机分析中至关重要，例如在伊藤积分的定义中。 维纳测度是随机分析和现代概率论的基石。它使得我们可以将布朗运动的路径视为一个点在一个无限维空间（连续函数空间）中，并在这个空间上使用测度论和泛函分析的工具进行研究，例如在定义和研究随机微分方程、费因曼-卡茨公式以及 Malliavin 分析等领域。