特征多项式 特征多项式是线性代数中与线性变换或矩阵紧密相关的重要概念。让我从基础开始，循序渐进地解释它。 首先，考虑一个n维向量空间V和一个线性变换T: V→V。特征多项式帮助我们理解这个变换的核心性质。它的定义基于特征值的概念：如果存在非零向量v和标量λ使得T(v)=λv，那么λ称为特征值，v称为对应的特征向量。 要找到特征值，我们需要解方程det(T-λI)=0，其中I是单位矩阵。这个行列式det(T-λI)就是特征多项式。更具体地说，如果A是线性变换T在某个基下的矩阵表示，那么特征多项式就是det(A-λI)。 让我用一个2×2矩阵的例子来说明。设A=[ [ a,b],[ c,d]]，那么A-λI=[ [ a-λ,b],[ c,d-λ] ]。计算行列式得到(a-λ)(d-λ)-bc=λ²-(a+d)λ+(ad-bc)。这就是A的特征多项式：λ²-tr(A)λ+det(A)，其中tr(A)是迹（对角线元素之和），det(A)是行列式。 特征多项式有几个关键性质。首先，它是λ的n次首一多项式（首项系数为1）。其次，根据Cayley-Hamilton定理，任何矩阵都满足其特征多项式方程，即如果p(λ)是A的特征多项式，那么p(A)=0。 特征多项式的根就是矩阵的特征值。这些根可能是实数或复数，重根按重数计算。每个特征值对应一个特征空间，即所有满足(A-λI)v=0的向量v构成的子空间。 特征多项式在矩阵的相似变换下保持不变。如果B=P⁻¹AP，那么A和B有相同的特征多项式。这意味着特征多项式是线性变换的内在属性，不依赖于具体的基选择。 特征多项式还帮助我们理解矩阵的可对角化条件。一个n×n矩阵可对角化当且仅当它有n个线性无关的特征向量，这等价于每个特征值的代数重数（在特征多项式中的重数）等于几何重数（对应特征空间的维数）。 在更高维的情况下，特征多项式的系数也有明确的几何意义。常数项是(-1)ⁿdet(A)，λⁿ⁻¹的系数是-tr(A)，其他系数也与矩阵的各种对称函数有关。 特征多项式在求解线性微分方程组、分析动力系统的稳定性、量子力学等众多领域都有重要应用。它为我们提供了一种系统的方法来研究线性变换的固有性质，而不依赖于具体的坐标系选择。