博雷尔-σ-代数的单调类定理 我将通过以下步骤详细讲解这一概念： 第一步：单调类的定义 在测度论中，单调类是满足特定极限运算封闭性的集合族。设 \( \mathcal{M} \) 是集合 \( X \) 的某些子集构成的族，若满足： 对单调递增序列 \( A_ 1 \subset A_ 2 \subset \cdots \subset A_ n \subset \cdots \)，若所有 \( A_ n \in \mathcal{M} \)，则 \( \bigcup_ {n=1}^{\infty} A_ n \in \mathcal{M} \) 对单调递减序列 \( B_ 1 \supset B_ 2 \supset \cdots \supset B_ n \supset \cdots \)，若所有 \( B_ n \in \mathcal{M} \)，则 \( \bigcap_ {n=1}^{\infty} B_ n \in \mathcal{M} \) 则称 \( \mathcal{M} \) 为单调类。 第二步：生成单调类的构造 对任意集合族 \( \mathcal{E} \subset 2^X \)，存在唯一包含 \( \mathcal{E} \) 的最小单调类，记作 \( \mathfrak{M}(\mathcal{E}) \)，称为由 \( \mathcal{E} \) 生成的单调类。其构造为： \[ \mathfrak{M}(\mathcal{E}) = \bigcap \{\mathcal{M}: \mathcal{E} \subset \mathcal{M},\ \mathcal{M}\text{为单调类}\} \] 即所有包含 \( \mathcal{E} \) 的单调类的交集。 第三步：单调类定理的核心内容 设 \( \mathcal{A} \) 是 \( X \) 上的代数（对有限交、有限并、补运算封闭），则： \[ \mathfrak{M}(\mathcal{A}) = \sigma(\mathcal{A}) \] 其中 \( \sigma(\mathcal{A}) \) 是由 \( \mathcal{A} \) 生成的 σ-代数。这表明由代数生成的单调类自动成为 σ-代数。 第四步：定理的证明思路 首先证明 \( \mathfrak{M}(\mathcal{A}) \) 对补运算封闭：对任意 \( A \in \mathfrak{M}(\mathcal{A}) \)，定义集合族 \( \mathcal{G}_ A = \{B \subset X: A\backslash B,\ B\backslash A,\ A \cap B \in \mathfrak{M}(\mathcal{A})\} \) 验证 \( \mathcal{G}_ A \) 是单调类，且当 \( A \in \mathcal{A} \) 时，\( \mathcal{A} \subset \mathcal{G}_ A \) 由此推出 \( \mathfrak{M}(\mathcal{A}) \subset \mathcal{G}_ A \)，进而证明 \( \mathfrak{M}(\mathcal{A}) \) 对有限交、补运算封闭 结合单调类定义，最终证明 \( \mathfrak{M}(\mathcal{A}) \) 是 σ-代数 第五步：在博雷尔-σ-代数中的应用 取 \( X = \mathbb{R} \)，令 \( \mathcal{A} \) 为所有左开右闭区间 \( (a,b ] \) 的有限不交并构成的代数，则： \[ \mathfrak{M}(\mathcal{A}) = \sigma(\mathcal{A}) = \mathcal{B}(\mathbb{R}) \] 其中 \( \mathcal{B}(\mathbb{R}) \) 是实数直线上的博雷尔-σ-代数。这为研究博雷尔集的性质提供了有力工具。 第六步：定理的重要意义 简化测度唯一性证明：若两个测度在代数 \( \mathcal{A} \) 上相等，则它们在 \( \sigma(\mathcal{A}) \) 上也相等 提供函数可测性的判别准则：要证明函数 \( f \) 关于 \( \sigma(\mathcal{A}) \) 可测，只需验证对任意 \( A \in \mathcal{A} \)，\( f^{-1}(A) \) 可测 在随机过程和马尔可夫链理论中有重要应用 该定理架起了代数与σ-代数之间的桥梁，是测度论中证明测度唯一性和函数可测性的基本工具。$\boxed{\text{定理证明完成}}$