双曲抛物面的主方向与曲率线

1. 双曲抛物面的基本定义
   双曲抛物面是一种典型的二次曲面，其标准方程为 \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\)。它的形状类似马鞍，沿 \(x\) 方向开口向上，沿 \(y\) 方向开口向下。该曲面没有顶点，但有一个鞍点（原点），是高斯曲率为负的典型曲面。

2. 曲面的曲率线与主方向概念
   曲率线是曲面上的一条曲线，其切方向始终与主方向一致。主方向是曲面上某点处使法曲率取极值（即主曲率 \(k_1\) 和 \(k_2\)）的切方向。对于任意曲面，主方向总是相互垂直的。曲率线的微分方程由罗德里格方程描述：\(d\mathbf{n} = -k \, d\mathbf{r}\)，其中 \(k\) 为主曲率。

3. 双曲抛物面的参数化与基本形式
   采用参数化：

\[ \mathbf{r}(u,v) = \left(u, v, \frac{u^2}{a^2} - \frac{v^2}{b^2}\right). \]

• 第一基本形式：
  计算偏导 \(\mathbf{r}_u = (1,0,\frac{2u}{a^2})\)，\(\mathbf{r}_v = (0,1,-\frac{2v}{b^2})\)，得到：

\[ E = 1 + \frac{4u^2}{a^4}, \quad F = -\frac{4uv}{a^2 b^2}, \quad G = 1 + \frac{4v^2}{b^4}. \]

• 第二基本形式：
  单位法向量 \(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{\|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|}\)，二阶偏导 \(\mathbf{r}_{uu} = (0,0,\frac{2}{a^2})\)，\(\mathbf{r}_{uv} = (0,0,0)\)，\(\mathbf{r}_{vv} = (0,0,-\frac{2}{b^2})\)，代入得：

\[ L = \frac{2/a^2}{\sqrt{1 + \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4}}}, \quad M = 0, \quad N = \frac{-2/b^2}{\sqrt{1 + \frac{4u^2}{a^4} + \frac{4v^2}{b^4}}}. \]

4. 主曲率与主方向的计算
   主曲率 \(k\) 满足方程：

\[ (EG - F^2)k^2 - (EN - 2FM + GL)k + (LN - M^2) = 0. \]

代入 \(M=0\) 后化简，得到：

\[ k_{1,2} = \frac{EN + GL \pm \sqrt{(EN - GL)^2 + 4FL^2}}{2(EG - F^2)}. \]

主方向对应的切向量满足：

\[ (L - kE)du + (M - kF)dv = 0. \]

由于 \(M=0\)，方程可解出两个互相垂直的主方向。

5. 曲率线的特性与几何意义
   双曲抛物面的曲率线构成两族相互正交的曲线。在鞍点（原点）处，曲率线沿渐近方向（\(u=0\) 和 \(v=0\)）。曲率线的切方向始终与主方向重合，且沿曲率线的主曲率不变。这两族曲线在曲面上形成正交网，描述了曲面弯曲的极值方向。

6. 应用与扩展
   曲率线可用于分析曲面应力分布（如壳体力学），并在计算机图形学中用于曲面网格划分。双曲抛物面的曲率线还与其直母线相关——直母线与曲率线夹角固定，这反映了负曲率曲面的独特几何性质。