博赫纳-里斯平均 首先，我们考虑傅里叶级数的收敛问题。对于一个周期为$2\pi$的函数$f \in L^1(\mathbb{T})$，其傅里叶级数的部分和$S_ N f(x)$定义为： \[ S_ N f(x) = \sum_ {|n| \leq N} \hat{f}(n) e^{inx} \] 其中傅里叶系数$\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int} dt$。然而，即使在$L^1$空间中，部分和算子$S_ N$也可能不收敛。为此，我们引入博赫纳-里斯平均来改善收敛性。 博赫纳-里斯平均（又称$\theta$-平均）定义为： \[ \sigma_ N^\theta f(x) = \sum_ {|n| \leq N} \theta\left(\frac{|n|}{N}\right) \hat{f}(n) e^{inx} \] 其中$\theta: [ 0,1 ] \to \mathbb{R}$是一个固定的连续函数，称为平均函数。特别地，当$\theta(t) = \max(0, 1-|t|)$时，我们得到经典的费耶尔平均。 博赫纳-里斯平均的积分表达式可以通过卷积表示。令$K_ N^\theta$为对应的博赫纳-里斯核： \[ K_ N^\theta(x) = \sum_ {|n| \leq N} \theta\left(\frac{|n|}{N}\right) e^{inx} \] 则博赫纳-里斯平均可表示为卷积： \[ \sigma_ N^\theta f(x) = (f * K_ N^\theta)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} f(x-t) K_ N^\theta(t) dt \] 接下来我们分析博赫纳-里斯核的性质。通过傅里叶变换的性质，可以得到： \[ K_ N^\theta(x) = \sum_ {|n| \leq N} \theta\left(\frac{|n|}{N}\right) e^{inx} = \frac{1}{2\pi} \int_ {-\pi}^{\pi} D_ N(t) \left[ \sum_ {|n| \leq N} \theta\left(\frac{|n|}{N}\right) e^{in(x-t)} \right ] dt \] 其中$D_ N$是狄利克雷核。当$\theta$满足适当条件时，博赫纳-里斯核具有更好的正则性。 博赫纳-里斯平均的收敛性由以下定理保证： 定理1 ：若$\theta \in C[ 0,1]$且$\theta(0) = 1$，则对任意$f \in L^p(\mathbb{T})$，$1 \leq p < \infty$，有： \[ \lim_ {N \to \infty} \|\sigma_ N^\theta f - f\|_ {L^p} = 0 \] 特别地，在$L^p$范数意义下，博赫纳-里斯平均收敛到原函数。 定理2 （几乎处处收敛）：若$\theta$满足利普希茨条件且$\theta(0) = 1$，则对任意$f \in L^p(\mathbb{T})$，$1 \leq p < \infty$，有： \[ \lim_ {N \to \infty} \sigma_ N^\theta f(x) = f(x) \quad \text{几乎处处} \] 博赫纳-里斯平均的最大最小值原理是其重要性质之一。若$\theta$是凸函数，则博赫纳-里斯平均保持函数的极值性质： \[ \inf f \leq \sigma_ N^\theta f(x) \leq \sup f \] 这一性质在调和分析中有着重要应用。 最后，我们考虑博赫纳-里斯平均在逼近论中的应用。定义逼近误差： \[ E_ N^\theta(f) p = \|f - \sigma_ N^\theta f\| {L^p} \] 则当$f$具有更高正则性时，逼近误差有更快的衰减。例如，若$f \in C^r(\mathbb{T})$，则： \[ E_ N^\theta(f)_ \infty \leq C N^{-r} \] 其中常数$C$依赖于$f$和$\theta$。 综上所述，博赫纳-里斯平均通过引入适当的平均函数$\theta$，改善了傅里叶级数的收敛性，在调和分析和函数逼近理论中具有重要作用。$\boxed{\text{博赫纳-里斯平均}}$