分析学词条：法图引理 法图引理是实分析和测度论中一个基本而重要的结果，它处理非负可测函数序列的积分与极限的关系。我将从基础概念开始，逐步引导你理解这个引理。 首先，我们需要明确法图引理所讨论的函数类型。考虑一个测度空间 $(X, \mathcal{F}, \mu)$，其中 $X$ 是集合，$\mathcal{F}$ 是 $X$ 上的 $\sigma$-代数，$\mu$ 是测度。设 $\{f_ n\}$ 是一列可测函数，且每个 $f_ n$ 都是非负的，即对于所有 $n$ 和几乎所有 $x \in X$，有 $f_ n(x) \geq 0$。法图引理断言，这些函数的下极限的积分不超过它们积分的下极限。更精确地说： \[ \int_ X \liminf_ {n \to \infty} f_ n \, d\mu \leq \liminf_ {n \to \infty} \int_ X f_ n \, d\mu \] 为了理解这个不等式，我们回顾一下下极限的定义。对于序列 $\{a_ n\}$，其下极限 $\liminf_ {n \to \infty} a_ n$ 定义为 $\lim_ {n \to \infty} \left( \inf_ {k \geq n} a_ k \right)$。直观上，它捕捉了序列的“最低”累积值。在函数序列的语境中，$\liminf_ {n \to \infty} f_ n(x)$ 是在每个点 $x$ 处序列 $\{f_ n(x)\}$ 的下极限。 现在，为什么法图引理成立？我们可以通过构造一个辅助函数序列来直观理解。定义 $g_ n(x) = \inf_ {k \geq n} f_ k(x)$。那么，$\{g_ n\}$ 是一个递增的非负可测函数序列，并且逐点收敛到 $\liminf_ {n \to \infty} f_ n$。根据勒贝格单调收敛定理（它处理递增序列的积分与极限），我们有： \[ \int_ X \liminf_ {n \to \infty} f_ n \, d\mu = \int_ X \lim_ {n \to \infty} g_ n \, d\mu = \lim_ {n \to \infty} \int_ X g_ n \, d\mu \] 注意，对于每个 $n$，由于 $g_ n(x) \leq f_ k(x)$ 对所有 $k \geq n$ 成立，由积分的单调性，有 $\int_ X g_ n \, d\mu \leq \int_ X f_ k \, d\mu$ 对所有 $k \geq n$ 成立。因此，$\int_ X g_ n \, d\mu \leq \inf_ {k \geq n} \int_ X f_ k \, d\mu$。取极限 $n \to \infty$，我们得到： \[ \lim_ {n \to \infty} \int_ X g_ n \, d\mu \leq \liminf_ {n \to \infty} \int_ X f_ n \, d\mu \] 结合上述等式，我们就证明了法图引理： \[ \int_ X \liminf_ {n \to \infty} f_ n \, d\mu \leq \liminf_ {n \to \infty} \int_ X f_ n \, d\mu \] 法图引理的一个关键应用是在控制收敛定理的证明中，它帮助处理函数序列的积分极限。需要注意的是，法图引理中的不等式通常是严格的，例如考虑函数序列 $f_ n(x) = n \cdot \mathbf{1} {(0, 1/n]}(x)$ 在 $[ 0,1]$ 上配备勒贝格测度。此时，$\liminf {n \to \infty} f_ n(x) = 0$，所以左边积分为 $0$，但每个 $\int f_ n = 1$，故右边为 $1$，严格不等式成立。 总之，法图引理提供了在非负条件下，积分号与下极限可交换的一个不等式，它是分析学中极限与积分交换问题的基石之一。$\boxed{\int_ X \liminf_ {n \to \infty} f_ n \, d\mu \leq \liminf_ {n \to \infty} \int_ X f_ n \, d\mu}$