亥姆霍兹方程的分离变量法
亥姆霍兹方程是数学物理中描述波动和振动现象的基本方程，形式为 ∇²φ + k²φ = 0。当在特定坐标系下求解时，分离变量法能将其化为常微分方程组。下面以直角坐标系为例详细说明：
- 方程设定与变量分离假设
在直角坐标系中，亥姆霍兹方程展开为：
\[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} + k^2 \phi = 0 \]
设解可分离为：\(\phi(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)\)。代入方程后，两边除以\(\phi\)得：
\[ \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} + \frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2} + k^2 = 0 \]
- 分离常数的引入
每一项仅依赖于一个变量，因此必须等于常数。设：
\[ \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} = -k_x^2, \quad \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} = -k_y^2, \quad \frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2} = -k_z^2 \]
代入方程得约束关系：\(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = k^2\)。每个方向满足常微分方程：
\[ \frac{d^2X}{dx^2} + k_x^2 X = 0, \quad \frac{d^2Y}{dy^2} + k_y^2 Y = 0, \quad \frac{d^2Z}{dz^2} + k_z^2 Z = 0 \]
- 本征值问题与通解构造
- 在边界条件（如狄利克雷条件）下，分离常数取离散值（本征值）。例如在区间\([0,L]\)上，\(k_x = \frac{n\pi}{L}\)，解为\(X_n(x) = \sin(k_x x)\)或\(\cos(k_x x)\)。
- 通解为所有本征模式的叠加：
\[ \phi(x,y,z) = \sum_{m,n,p} A_{mnp} X_m(x) Y_n(y) Z_p(z) \]
其中系数\(A_{mnp}\)由初始条件或边界条件确定。
- 物理意义与扩展应用
- 分离常数对应波矢分量，约束关系\(k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2\)体现波动色散关系。
- 在柱坐标或球坐标中，分离变量会引出贝塞尔函数或球谐函数，需处理更复杂的本征值问题。
- 该方法广泛应用于波导、谐振腔和量子力学中的势箱问题。