曲面的第一基本形式

字数 2591 2025-11-17 21:49:08

曲面的第一基本形式

我们先从曲面的基本概念开始。想象一个光滑的曲面，就像一张平滑弯曲的薄片。为了定量地研究这个曲面上的几何性质（比如长度、角度、面积），我们需要一种工具来描述曲面本身的内在度量结构。这个工具就是第一基本形式。

第一步：曲面的参数化
要研究一个曲面，我们首先需要一种方式来描述它上面点的位置。最常用的方法就是参数化。假设曲面由两个参数 \(u\) 和 \(v\) 决定，那么曲面上的点 \(\vec{r}\) 可以表示为：

\[\vec{r} = \vec{r}(u, v) \]

这意味着点的三个坐标 \((x, y, z)\) 都是 \(u\) 和 \(v\) 的函数。例如，一个球面可以用经度 \(u\) 和纬度 \(v\) 来参数化。

第二步：切向量与切平面
在曲面上任意一点 \(P\)，我们考虑通过该点的两条参数曲线：一条固定 \(v\) 只改变 \(u\)（记为 \(\vec{r}_u\)），另一条固定 \(u\) 只改变 \(v\)（记为 \(\vec{r}_v\)）。这两条曲线在 \(P\) 点的切向量分别是：

\[\vec{r}_u = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}, \quad \vec{r}_v = \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \]

只要这两个向量不平行（即线性无关），它们就张成了曲面在 \(P\) 点的切平面。

第三步：曲面上的曲线与弧长微元
现在考虑曲面上的一条曲线 \(C\)。由于这条曲线在曲面上，它的参数方程可以写成 \(u = u(t), v = v(t)\)。这条曲线的切向量（即速度向量）为：

\[\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{r}_u \frac{du}{dt} + \vec{r}_v \frac{dv}{dt} \]

在微积分中，我们知道曲线上一小段长度 \(ds\) 满足 \(ds^2 = d\vec{r} \cdot d\vec{r}\)。而 \(d\vec{r}\) 可以表示为：

\[d\vec{r} = \vec{r}_u du + \vec{r}_v dv \]

因此，弧长微元的平方为：

\[ds^2 = (d\vec{r}) \cdot (d\vec{r}) = (\vec{r}_u du + \vec{r}_v dv) \cdot (\vec{r}_u du + \vec{r}_v dv) \]

第四步：第一基本形式的定义
将上面的点乘展开，我们得到：

\[ds^2 = (\vec{r}_u \cdot \vec{r}_u) du^2 + 2(\vec{r}_u \cdot \vec{r}_v) du dv + (\vec{r}_v \cdot \vec{r}_v) dv^2 \]

我们引入三个系数来简化这个表达式：

\[E = \vec{r}_u \cdot \vec{r}_u, \quad F = \vec{r}_u \cdot \vec{r}_v, \quad G = \vec{r}_v \cdot \vec{r}_v \]

于是，弧长微元的平方可以简洁地写为：

\[ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2 \]

这个二次微分形式 \(ds^2\) 就称为曲面的第一基本形式。系数 \(E, F, G\) 称为第一基本量，它们都是参数 \(u\) 和 \(v\) 的函数。

第五步：第一基本形式的几何意义
第一基本形式描述了曲面本身的度量性质，它与曲面如何嵌入三维空间无关（即“内蕴几何”）。

计算弧长：要计算曲面上一条曲线 \(u(t), v(t)\) 从 \(t=a\) 到 \(t=b\) 的长度，我们使用：

\[ L = \int_a^b \sqrt{E \left(\frac{du}{dt}\right)^2 + 2F \frac{du}{dt}\frac{dv}{dt} + G \left(\frac{dv}{dt}\right)^2} dt \]

计算角度：曲面上两条曲线相交，它们的交角 \(\theta\) 可以通过它们切向量的点积来计算。而点积完全由第一基本形式决定：

\[ \cos \theta = \frac{\vec{r}_u du_1 + \vec{r}_v dv_1}{\sqrt{E du_1^2 + 2F du_1 dv_1 + G dv_1^2}} \cdot \frac{\vec{r}_u du_2 + \vec{r}_v dv_2}{\sqrt{E du_2^2 + 2F du_2 dv_2 + G dv_2^2}} \]

计算面积：曲面上一个微小区域的面积 \(dA\) 为：

\[ dA = |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| du dv = \sqrt{EG - F^2} du dv \]

这里 \(\sqrt{EG - F^2}\) 也完全由第一基本量决定。

第六步：一个简单的例子——平面
考虑 \(xy\)-平面，最简单的参数化是 \(\vec{r}(u, v) = (u, v, 0)\)。那么：

\[\vec{r}_u = (1, 0, 0), \quad \vec{r}_v = (0, 1, 0) \]

计算第一基本量：

\[E = \vec{r}_u \cdot \vec{r}_u = 1, \quad F = \vec{r}_u \cdot \vec{r}_v = 0, \quad G = \vec{r}_v \cdot \vec{r}_v = 1 \]

所以第一基本形式为：

\[ds^2 = du^2 + dv^2 \]

这正是我们熟悉的平面上的勾股定理（ Euclidean metric），验证了第一基本形式确实是描述曲面自身度量规则的工具。

曲面的第一基本形式我们先从曲面的基本概念开始。想象一个光滑的曲面，就像一张平滑弯曲的薄片。为了定量地研究这个曲面上的几何性质（比如长度、角度、面积），我们需要一种工具来描述曲面本身的内在度量结构。这个工具就是第一基本形式。第一步：曲面的参数化要研究一个曲面，我们首先需要一种方式来描述它上面点的位置。最常用的方法就是参数化。假设曲面由两个参数 \( u \) 和 \( v \) 决定，那么曲面上的点 \( \vec{r} \) 可以表示为： \[ \vec{r} = \vec{r}(u, v) \] 这意味着点的三个坐标 \( (x, y, z) \) 都是 \( u \) 和 \( v \) 的函数。例如，一个球面可以用经度 \( u \) 和纬度 \( v \) 来参数化。第二步：切向量与切平面在曲面上任意一点 \( P \)，我们考虑通过该点的两条参数曲线：一条固定 \( v \) 只改变 \( u \)（记为 \( \vec{r}_ u \)），另一条固定 \( u \) 只改变 \( v \)（记为 \( \vec{r}_ v \)）。这两条曲线在 \( P \) 点的切向量分别是： \[ \vec{r}_ u = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}, \quad \vec{r}_ v = \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \] 只要这两个向量不平行（即线性无关），它们就张成了曲面在 \( P \) 点的切平面。第三步：曲面上的曲线与弧长微元现在考虑曲面上的一条曲线 \( C \)。由于这条曲线在曲面上，它的参数方程可以写成 \( u = u(t), v = v(t) \)。这条曲线的切向量（即速度向量）为： \[ \frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{r}_ u \frac{du}{dt} + \vec{r}_ v \frac{dv}{dt} \] 在微积分中，我们知道曲线上一小段长度 \( ds \) 满足 \( ds^2 = d\vec{r} \cdot d\vec{r} \)。而 \( d\vec{r} \) 可以表示为： \[ d\vec{r} = \vec{r}_ u du + \vec{r}_ v dv \] 因此，弧长微元的平方为： \[ ds^2 = (d\vec{r}) \cdot (d\vec{r}) = (\vec{r}_ u du + \vec{r}_ v dv) \cdot (\vec{r}_ u du + \vec{r}_ v dv) \] 第四步：第一基本形式的定义将上面的点乘展开，我们得到： \[ ds^2 = (\vec{r}_ u \cdot \vec{r}_ u) du^2 + 2(\vec{r}_ u \cdot \vec{r}_ v) du dv + (\vec{r}_ v \cdot \vec{r}_ v) dv^2 \] 我们引入三个系数来简化这个表达式： \[ E = \vec{r}_ u \cdot \vec{r}_ u, \quad F = \vec{r}_ u \cdot \vec{r}_ v, \quad G = \vec{r}_ v \cdot \vec{r}_ v \] 于是，弧长微元的平方可以简洁地写为： \[ ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2 \] 这个二次微分形式 \( ds^2 \) 就称为曲面的第一基本形式。系数 \( E, F, G \) 称为第一基本量，它们都是参数 \( u \) 和 \( v \) 的函数。第五步：第一基本形式的几何意义第一基本形式描述了曲面本身的度量性质，它与曲面如何嵌入三维空间无关（即“内蕴几何”）。计算弧长：要计算曲面上一条曲线 \( u(t), v(t) \) 从 \( t=a \) 到 \( t=b \) 的长度，我们使用： \[ L = \int_ a^b \sqrt{E \left(\frac{du}{dt}\right)^2 + 2F \frac{du}{dt}\frac{dv}{dt} + G \left(\frac{dv}{dt}\right)^2} dt \] 计算角度：曲面上两条曲线相交，它们的交角 \( \theta \) 可以通过它们切向量的点积来计算。而点积完全由第一基本形式决定： \[ \cos \theta = \frac{\vec{r}_ u du_ 1 + \vec{r}_ v dv_ 1}{\sqrt{E du_ 1^2 + 2F du_ 1 dv_ 1 + G dv_ 1^2}} \cdot \frac{\vec{r}_ u du_ 2 + \vec{r}_ v dv_ 2}{\sqrt{E du_ 2^2 + 2F du_ 2 dv_ 2 + G dv_ 2^2}} \] 计算面积：曲面上一个微小区域的面积 \( dA \) 为： \[ dA = |\vec{r}_ u \times \vec{r}_ v| du dv = \sqrt{EG - F^2} du dv \] 这里 \( \sqrt{EG - F^2} \) 也完全由第一基本量决定。第六步：一个简单的例子——平面考虑 \( xy \)-平面，最简单的参数化是 \( \vec{r}(u, v) = (u, v, 0) \)。那么： \[ \vec{r}_ u = (1, 0, 0), \quad \vec{r}_ v = (0, 1, 0) \] 计算第一基本量： \[ E = \vec{r}_ u \cdot \vec{r}_ u = 1, \quad F = \vec{r}_ u \cdot \vec{r}_ v = 0, \quad G = \vec{r}_ v \cdot \vec{r}_ v = 1 \] 所以第一基本形式为： \[ ds^2 = du^2 + dv^2 \] 这正是我们熟悉的平面上的勾股定理（ Euclidean metric），验证了第一基本形式确实是描述曲面自身度量规则的工具。