博雷尔-σ-代数的柱集生成

首先，我们回顾乘积σ-代数的概念。设\((X_i, \mathcal{F}_i)_{i \in I}\)为一族可测空间，其中指标集\(I\)可能不可数。乘积空间\(X = \prod_{i \in I} X_i\)上的乘积σ-代数\(\bigotimes_{i \in I} \mathcal{F}_i\)定义为使得所有坐标投影\(\pi_j: X \to X_j\)都可测的最小σ-代数。具体地，它由所有"柱集"(cylinder set)生成。

柱集的定义如下：取有限子集\(J \subset I\)和\(A_J \in \bigotimes_{j \in J} \mathcal{F}_j\)，则对应的柱集为

\[C(A_J) = \{ x \in X : (x_j)_{j \in J} \in A_J \} \]

即前\(J\)坐标落在\(A_J\)中，其余坐标任意的点集。当\(I = \mathbb{R}\)时，柱集对应"有限维分布"确定的集合。

特别地，当每个\((X_i, \mathcal{F}_i) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))\)时，乘积σ-代数\(\mathcal{B}(\mathbb{R}^I)\)由形如

\[\{ x \in \mathbb{R}^I : (x_{t_1}, \dots, x_{t_n}) \in B \} \]

的柱集生成，其中\(n \in \mathbb{N}\)，\(t_1, \dots, t_n \in I\)，\(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\)。这就是博雷尔-σ-代数的柱集生成的含义。

一个重要性质是：当\(I\)不可数时，\(\mathcal{B}(\mathbb{R}^I)\)中的集合仅依赖于可数多个坐标。即，对任意\(A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^I)\)，存在可数子集\(I_0 \subset I\)，使得\(A = \pi_{I_0}^{-1}(\pi_{I_0}(A))\)，其中\(\pi_{I_0}: \mathbb{R}^I \to \mathbb{R}^{I_0}\)是投影。这意味着不可数维乘积空间的博雷尔集实际上只由可数多个坐标决定。

这一性质在随机过程理论中至关重要。例如，考虑所有实值函数的空间\(\mathbb{R}^{[0,1]}\)，配备乘积博雷尔σ-代数。则集合\(\{ f: f \text{连续} \}\)不是博雷尔集，因为连续性依赖于不可数多个坐标的值。类似地，\(\{ f: f \text{可测} \}\)等性质对应的集合通常不在乘积σ-代数中。

柱集生成的性质使得我们能够将高维（甚至无限维）测度问题约化到有限维情形。根据卡氏定理，乘积空间上的测度由其在柱集上的取值唯一确定。这为研究随机过程的有穷维分布与整体性质奠定了基础。