可测函数序列的等度可测性与等度连续性的关系 我将从基本概念出发，循序渐进地讲解这个重要主题。 首先让我们明确两个核心概念： 等度可测性 ：一个函数族F称为等度可测的，如果对任意ε>0，存在可测集E，使得m(E) <ε，且在E的补集上，F中的所有函数都是一致有界的，并且在该补集上构成等度连续的函数族。 等度连续性 ：一个函数族F在点x称为等度连续的，如果对任意ε>0，存在δ>0，使得对所有f∈F，当|y-x|<δ时，有|f(y)-f(x)| <ε。 现在让我们探讨这两者之间的深刻联系： 第一步：鲁津定理的推广视角 回忆经典的鲁津定理指出，任何可测函数都可以在去掉一个测度任意小的集合后成为连续函数。等度可测性可以视为这一性质的"一致性"版本——整个函数族可以同时在同一个"好"集合（测度接近全集的集合）上表现出良好的连续性。 第二步：等度可测蕴含等度连续的条件 如果函数族{fn}是等度可测的，那么在某个测度充分接近全集的可测集K上，该函数族是等度连续的。这意味着等度可测性在"几乎整个"空间上保证了等度连续性。 第三步：等度连续对可测性的影响 在完备的测度空间中，如果一个函数序列是等度连续的，并且每个函数都是可测的，那么该序列的极限函数（如果存在）也是可测的。等度连续性在这里起到了保持可测性在极限过程中不丢失的作用。 第四步：阿尔泽拉-阿斯科利定理的测度论版本 在紧度量空间上，等度连续且有界的函数族是相对紧的（在一致收敛拓扑下）。在测度论中，等度可测性结合等度连续性可以保证函数序列存在几乎处处收敛的子序列。 第五步：在L^p空间中的应用 考虑L^p(R^n)中的函数族F。如果F是等度可测的，并且在某个紧集外一致小，同时具有等度连续性，那么F在L^p中是相对紧的——这是弗拉格曼-坎德洛夫紧性定理的核心思想。 第六步：与维塔利收敛定理的联系 等度可测性与等度连续性的结合，可以推出函数序列满足维塔利收敛定理的条件，从而保证积分与极限的可交换性。 这个关系在偏微分方程、变分法以及概率论中都有重要应用，它提供了判断函数族紧性和研究极限行为的有力工具。