分析学词条：单调收敛定理 让我从基础概念开始，循序渐进地讲解这个重要的收敛定理。 第一步：非负可测函数序列 在测度论中，我们首先需要理解什么是非负可测函数序列。考虑一个测度空间(X, Σ, μ)，其中X是集合，Σ是σ-代数，μ是测度。一个函数序列{fₙ}称为非负可测函数序列，如果： 每个fₙ: X → [ 0, +∞ ]都是可测函数 序列是单调递增的：对几乎所有x ∈ X，有f₁(x) ≤ f₂(x) ≤ f₃(x) ≤ ⋯ 第二步：逐点收敛与极限函数 由于序列{fₙ(x)}对每个x都是单调递增的非负数列，根据实数的完备性，该序列必然收敛到一个极限值（可能是+∞）。我们定义极限函数： f(x) = limₙ→∞ fₙ(x) = supₙ fₙ(x) 这个极限函数f也是非负可测函数，因为可测函数序列的逐点极限保持可测性。 第三步：积分的单调性 在勒贝格积分理论中，对于非负可测函数，我们有重要的单调性性质： 如果0 ≤ g(x) ≤ h(x)几乎处处成立，那么∫g dμ ≤ ∫h dμ 特别地，对于我们的单调递增序列{fₙ}，由于f₁ ≤ f₂ ≤ f₃ ≤ ⋯ ≤ f，我们有： ∫f₁ dμ ≤ ∫f₂ dμ ≤ ∫f₃ dμ ≤ ⋯ ≤ ∫f dμ 这意味着数列{∫fₙ dμ}是单调递增的，因此极限limₙ→∞ ∫fₙ dμ存在（可能是+∞）。 第四步：单调收敛定理的表述 单调收敛定理断言： limₙ→∞ ∫fₙ dμ = ∫(limₙ→∞ fₙ) dμ = ∫f dμ 换句话说，积分运算与极限运算可以交换次序。这是勒贝格积分相对于黎曼积分的一个重要优势。 第五步：定理的证明思路 证明分为两个不等式方向： 由于fₙ ≤ f，由积分的单调性得∫fₙ dμ ≤ ∫f dμ，因此limₙ→∞ ∫fₙ dμ ≤ ∫f dμ 反向不等式的证明更为精细，需要构造简单函数来逼近fₙ，利用简单函数的积分定义和极限过程 关键技巧是证明对任意满足0 ≤ φ ≤ f的简单函数φ，都有∫φ dμ ≤ limₙ→∞ ∫fₙ dμ。 第六步：定理的应用价值 单调收敛定理在分析学中有多重重要意义： 为其他收敛定理（如法图引理、控制收敛定理）提供基础 允许在积分号下取极限，简化许多极限过程的计算 是证明线性泛函分析中许多结果的关键工具 在概率论中，对应着期望的单调收敛定理 第七步：典型应用示例 考虑计算积分：∫₀¹ (1 - xⁿ)/(1 - x) dx 令fₙ(x) = (1 - xⁿ)/(1 - x) = 1 + x + x² + ⋯ + xⁿ⁻¹ 这是一个单调递增的非负函数序列，逐点收敛到f(x) = 1/(1 - x) 由单调收敛定理：limₙ→∞ ∫₀¹ fₙ(x) dx = ∫₀¹ 1/(1 - x) dx = +∞ 这个例子展示了定理如何帮助我们处理极限与积分的交换问题。