量子力学中的Feynman-Kac公式 我们先从经典概率论与量子力学的联系谈起。在量子力学中，薛定谔方程描述了系统的演化。对于一维粒子在势场 V(x) 中，其薛定谔方程为： iℏ∂ψ/∂t = - (ℏ²/2m)∂²ψ/∂x² + V(x)ψ 现在引入一个重要的数学技巧：通过虚时间变换 t → -iτ（Wick旋转），我们可以将薛定谔方程转换为热传导型方程： ∂u/∂τ = (ℏ/2m)∂²u/∂x² - V(x)u/ℏ 这个方程在数学上称为"虚时间薛定谔方程"。Feynman-Kac公式的核心思想是：这个方程的解可以用布朗运动的路径积分来表示。 具体来说，考虑初值问题： ∂u/∂τ = (1/2)Δu - V(x)u, u(x,0) = f(x) Feynman-Kac公式告诉我们，这个方程的解可以表示为： u(x,τ) = E[ exp(-∫₀^τ V(Bₛ)ds) f(B_ τ) | B₀ = x ] 其中E表示数学期望，Bₛ是标准布朗运动。这个公式将偏微分方程的解与随机过程联系起来。 在量子力学中的应用体现在： 基态能量计算：当τ→∞时，u(x,τ)的行为由系统的基态能量决定 热核估计：公式提供了研究薛定谔算子热核的新方法 路径积分表示：这实际上是Feynman路径积分的严格数学表述 公式的证明需要用到Itô微积分和鞅理论。关键步骤是构造过程： M_ t = exp(-∫₀^t V(Bₛ)ds) u(B_ t, τ-t) 然后证明这是一个鞅，再应用Itô公式和鞅的性质。 Feynman-Kac公式的重要性在于它搭建了概率论与量子力学之间的桥梁，为研究量子系统提供了强大的分析工具，特别是在计算基态性质和研究谱理论方面。