傅里叶变换在期权定价中的应用（Fourier Transform in Option Pricing） 傅里叶变换在期权定价中的应用是一种将复杂的随机过程模型转化为频域计算的高效数值方法。让我们从基础概念开始逐步深入： 傅里叶变换的数学基础 傅里叶变换的核心是将函数从时域（或空间域）转换到频域。对于期权定价，我们主要使用特征函数。一个随机变量X的特征函数定义为： φ(u) = E[ e^(iuX) ] 其中i是虚数单位。这个函数完全刻画了随机变量的概率分布特性。 风险中性定价与特征函数的关系 在风险中性测度Q下，资产价格S_ T在到期日T时刻的特征函数可以表示为： φ(u) = E^Q[ e^(iu ln S_ T) ] 这个特征函数包含了资产价格动态的所有关键信息，包括波动性、跳跃和随机利率等效应。 傅里叶反演公式 通过傅里叶反演，我们可以从特征函数恢复概率密度函数： f(x) = (1/2π) ∫_ {-∞}^{∞} e^(-iux) φ(u) du 这个公式建立了特征函数与概率密度函数之间的双向联系。 期权定价的傅里叶方法 对于欧式看涨期权，其价格可以表示为： C = e^(-rT) E^Q[ max(S_ T - K, 0) ] 通过傅里叶变换，这个期望可以重新表述为特征函数的积分形式，避免了直接计算复杂的概率密度函数。 COS方法（傅里叶余弦展开） 这是最常用的傅里叶期权定价方法。它将期权价值在余弦基函数下展开： V(x) ≈ ∑_ {k=0}^{N-1} A_ k cos(kπ(x-a)/(b-a)) 其中系数A_ k可以通过特征函数解析计算，大大提高了计算效率。 计算优势 与传统蒙特卡洛或有限差分法相比，傅里叶方法具有显著优势：计算复杂度从O(N^2)降至O(N log N)，对高维问题和路径依赖期权尤其有效，且精度可以通过增加展开项数系统控制。 这种方法特别适用于处理复杂随机过程模型，如带跳跃的Levy过程、随机波动率模型等，在这些模型中解析解通常不可得，但特征函数往往有闭式表达式。