量子力学中的C* -代数 我们先从代数结构的基础开始。C* -代数是一种特殊的代数结构，它同时具备代数性质和拓扑性质。具体来说，一个C* -代数A是一个复数域上的巴拿赫代数，并且配备了一个对合运算* ：A→A（即一个满足(a* )* = a, (a+b)* = a* +b* , (λa)* = λ̅a* , (ab)* = b a 的共轭线性映射），同时满足C 恒等式：||a a|| = ||a||² 对所有a∈A成立。 在量子力学的数学表述中，C* -代数提供了一个自然的框架来描述可观测量的代数结构。系统的所有可观测量构成一个C* -代数，其中的对合运算对应于物理量的复共轭，范数给出了物理量的最大可能测量值。 接下来我们考虑C* -代数的表示理论。一个C* -代数的表示是一个对(A, H)，其中H是希尔伯特空间，而π: A→B(H)是一个保持对合运算的代数同态，这里B(H)表示H上的有界线性算子代数。根据Gelfand-Naimark定理，每个C* -代数都同构于某个希尔伯特空间上的算子代数的闭子代数。 在量子力学的语境中，表示理论对应于物理系统的具体实现。系统的状态是C* -代数上的正线性泛函ω：A→C，满足ω(a* a) ≥ 0 对所有a∈A，且ω(1) = 1。通过GNS（Gelfand-Naimark-Segal）构造，每个这样的状态都对应于希尔伯特空间上的一个循环表示。 现在考虑C* -代数在量子力学中的具体应用。当系统的C* -代数是交换代数时，这对应于经典力学系统；当它是非交换代数时，这对应于真正的量子系统。对易关系[ a,b] = ab - ba 的代数结构自然地体现在C* -代数的非交换性中。 特别重要的是，海森堡对易关系[ p,q] = -iℏ 可以通过C* -代数的语言严格表述。实际上，Weyl形式的正则对易关系定义了唯一的C* -代数，这由Stone-von Neumann定理保证。 最后，我们讨论C* -代数在量子统计力学和量子场论中的应用。在无穷自由度系统中，C* -代数框架允许我们严格处理热力学极限和相变问题。KMS（Kubo-Martin-Schwinger）条件在C* -代数的框架下可以自然地表述，它描述了系统的热平衡状态。