曲面的主曲率与脐点 我们先从曲面的基本概念开始。在三维空间中，一个曲面可以由参数方程 \( \mathbf{r}(u,v) \) 表示，其中 \( u, v \) 是参数。曲面上每一点的法向量为 \( \mathbf{N} = \frac{\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v}{\|\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v\|} \)。 1. 曲面的第二基本形式与法曲率 曲面的第二基本形式定义为： \[ \mathrm{II} = L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2 \] 其中 \[ L = \mathbf{r} {uu} \cdot \mathbf{N}, \quad M = \mathbf{r} {uv} \cdot \mathbf{N}, \quad N = \mathbf{r}_ {vv} \cdot \mathbf{N}. \] 法曲率 \( \kappa_ n \) 描述曲面在某一切方向 \( (du:dv) \) 上的弯曲程度： \[ \kappa_ n = \frac{\mathrm{II}}{\mathrm{I}} = \frac{L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2}{E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2}, \] 其中 \( \mathrm{I} = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2 \) 是第一基本形式。 2. 主曲率的定义 在曲面上一点，法曲率随方向变化。存在两个互相垂直的切方向，使得法曲率取极值 \( \kappa_ 1 \) 和 \( \kappa_ 2 \)，称为 主曲率 。 主曲率是方程的解： \[ (EG - F^2) \kappa^2 - (EN - 2FM + GL)\kappa + (LN - M^2) = 0. \] 或者用矩阵形式： \[ \det\left( \begin{bmatrix} L & M \\ M & N \end{bmatrix} - \kappa \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} \right) = 0. \] 3. 脐点的定义 如果曲面上某一点处，任意切方向的法曲率都相等，即 \( \kappa_ 1 = \kappa_ 2 \)，则该点称为 脐点 （umbilical point）。 在脐点处，第二基本形式与第一基本形式成比例： \[ L/E = M/F = N/G. \] 球面上的每一点都是脐点；平面上的点也是脐点（主曲率均为 0）。 4. 脐点的分类 平点 （planar point）：\( \kappa_ 1 = \kappa_ 2 = 0 \)，如平面上的点。 圆点 （circular point）：\( \kappa_ 1 = \kappa_ 2 \neq 0 \)，如球面上的点。 在非脐点处，曲面沿两个主方向弯曲程度不同。 5. 脐点的几何意义 脐点处曲面的局部结构近似球面（或平面）。在脐点附近，曲面的等高线或 Dupin 标线为圆（或点）。 非脐点处的 Dupin 标线是椭圆或双曲线，对应两个不同的主曲率。 6. 脐点的例子 球面：所有点都是脐点。 椭球面：通常有四个脐点（如长轴和短轴的端点）。 旋转曲面：极点通常是脐点。 7. 脐点与曲面分类 脐点的存在影响曲面的整体几何。例如，只有球面和平面才能做到所有点都是脐点（定理：全脐点曲面只能是球面或平面）。 8. 应用 脐点在几何处理、曲面重建和特征识别中有重要应用，因为它们是曲面的内在特征点，对旋转、平移不变。