双曲抛物面的主曲率与脐点
我将为您详细讲解双曲抛物面的主曲率特性及其脐点性质。让我们从基本概念开始，逐步深入。
第一步：双曲抛物面的基本定义
双曲抛物面是一种典型的双重直纹曲面，其标准方程为：
\[z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \]
该曲面形似马鞍，在原点处存在一个鞍点。当沿x轴方向观察时呈上开口，沿y轴方向观察时呈下开口，这种相反方向的弯曲特性直接关联其主曲率的分析。
第二步：曲面的第一、第二基本形式
- 参数化表示：令\(u = x/a\)，\(v = y/b\)，则曲面可表示为
\[\vec{r}(u,v) = (au, bv, u^2 - v^2) \]
- 第一基本形式系数：
\[E = \vec{r}_u \cdot \vec{r}_u = a^2 + 4u^2 \]
\[F = \vec{r}_u \cdot \vec{r}_v = -4uv \]
\[G = \vec{r}_v \cdot \vec{r}_v = b^2 + 4v^2 \]
- 第二基本形式系数：
\[\vec{r}_{uu} = (0,0,2),\quad \vec{r}_{uv} = (0,0,0),\quad \vec{r}_{vv} = (0,0,-2) \]
单位法向量\(\vec{n} = \frac{\vec{r}_u \times \vec{r}_v}{|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|}\)
计算得：
\[L = \vec{r}_{uu} \cdot \vec{n},\quad M = \vec{r}_{uv} \cdot \vec{n},\quad N = \vec{r}_{vv} \cdot \vec{n} \]
第三步：主曲率的定义与计算
- 主曲率是曲面在某点沿主方向的法曲率极值
- 通过特征方程求解：
\[\begin{vmatrix} L - \kappa E & M - \kappa F \\ M - \kappa F & N - \kappa G \end{vmatrix} = 0 \]
- 对于双曲抛物面，在原点\((0,0,0)\)处简化计算：
- 此时\(E=a^2\)，\(F=0\)，\(G=b^2\)
- \(L=2/a\)，\(M=0\)，\(N=-2/b\)（经准确计算）
- 特征方程化为：\((2/a - \kappa a^2)(-2/b - \kappa b^2) = 0\)
第四步：双曲抛物面的主曲率特性
解特征方程得两个主曲率：
\[\kappa_1 = \frac{2}{a^2},\quad \kappa_2 = -\frac{2}{b^2} \]
关键观察：
- \(\kappa_1 > 0\)，\(\kappa_2 < 0\)，符号相反
- 高斯曲率\(K = \kappa_1\kappa_2 = -\frac{4}{a^2b^2} < 0\)
- 平均曲率\(H = \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2) = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\)
第五步：脐点的定义与判定
脐点定义：曲面上某点处所有方向的法曲率相等，即该点处两个主曲率相等：\(\kappa_1 = \kappa_2\)
判定条件：\(L/E = M/F = N/G\)
第六步：双曲抛物面的脐点分析
在双曲抛物面一般情形中：
\[\frac{L}{E} = \frac{2/a}{a^2} \neq \frac{-2/b}{b^2} = \frac{N}{G} \]
且\(M=0\)而\(F\neq 0\)（非原点处）
因此\(\frac{L}{E} \neq \frac{M}{F} \neq \frac{N}{G}\)
结论：双曲抛物面作为负高斯曲率曲面（\(K<0\)），其任意点处两个主曲率均异号且不相等，因此不存在脐点。这一性质与正曲率曲面（如椭球面）形成鲜明对比，体现了双曲抛物面独特的几何特性。