特征标理论

特征标理论是研究群表示的重要工具，通过将线性变换的复杂信息"编码"为数值函数，简化了对称性结构的分析。让我们从基础概念开始逐步深入。

1. 群表示的基本定义

   • 设G为群，V是域F上的向量空间。G在V上的线性表示是指群同态ρ: G → GL(V)，其中GL(V)是V上的一般线性群（所有可逆线性变换构成的群）。
   • 等价地，这是群G在向量空间V上的线性作用：G × V → V，满足对任意g,h∈G, v∈V：g·(h·v)=(gh)·v，且每个g对应的变换v↦g·v是线性的。

2. 特征标的引入

   • 对于表示ρ: G → GL(V)，定义其特征标χ: G → F为每个群元素对应线性变换的迹：χ(g) = Tr(ρ(g))。
   • 迹函数Tr记录线性变换的所有特征值之和，是线性代数中的重要不变量。在复数域上，Tr(A) = Σλ_i（λ_i是A的特征值）。

3. 特征标的基本性质

   • 单位元性质：χ(e) = dim(V)，其中e是G的单位元
   • 共轭不变性：χ(hgh⁻¹) = χ(g)，对任意g,h∈G。因此特征标是类函数（在共轭类上取常值）
   • 直和与张量积：
     • 若χ,ψ是表示V,W的特征标，则直和表示V⊕W的特征标为χ+ψ
     • 张量积表示V⊗W的特征标为χ·ψ（点乘）

4. 不可约特征标

   • 当表示ρ不可约（V没有非平凡G不变子空间）时，对应的特征标称为不可约特征标
   • 关键定理：在复数域上，有限群G的不可约特征标集合构成G上类函数空间的正交基
   • 正交关系：⟨χ_i,χ_j⟩ = (1/|G|)Σχ_i(g)χ_j(g)⁻ = δ_ij

5. 特征标表

   • 将有限群G的所有不可约特征标（行）在所有共轭类（列）上的取值列成表格
   • 特征标表包含了群的完整表示论信息，如：
     • 行数等于共轭类数，也等于不可约表示数
     • 第一行是全1特征标（平凡表示）
     • 第一列是各个不可约表示的维数

6. 特征标的进阶应用

   • 限制与诱导特征标：给定子群H≤G，可从H的特征标构造G的特征标（诱导特征标），反之亦然（限制特征标）
   • 特征标的整数性：当表示在整数环上定义时，特征标取整数值
   • 实表示判定：通过Frobenius-Schur指标ε(χ) = (1/|G|)Σχ(g²)判断表示是否为实表示、复表示或四元数型表示

特征标理论的价值在于将复杂的表示论问题转化为更易处理的数值计算，是有限群表示论和群特征理论的基石。