遍历理论中的随机游动与谱隙 让我们从随机游动这一基础概念开始。随机游动是描述粒子在状态空间中随机移动的数学模型。在遍历理论中，我们特别关注可数群（如整数群Z、自由群等）上的随机游动。设Γ是一个可数群，μ是Γ上的概率测度（称为驱动测度），那么对应的随机游动是一个马尔可夫链，其转移概率为p(x,y)=μ(x⁻¹y)。 接下来需要理解的是随机游动的谱隙概念。考虑随机游动在l²(Γ)上诱导的卷积算子P:f↦μ∗f。这个算子的谱半径ρ(P)决定了随机游动的长期行为。特别地，我们定义谱隙为1-ρ(P)，当P是自伴算子时，这等于1-∥P|_ (l²₀)∥，其中l²₀表示与常数函数正交的子空间。 现在让我们深入探讨谱隙与遍历性质的联系。如果谱隙大于零，那么随机游动具有指数收敛的遍历性质。具体来说，对于任意初始分布，经过n步后与平稳分布的总变差距离以指数速度衰减：∥μ^{* n}-π∥_ TV ≤ Ce^{-γn}，其中γ与谱隙直接相关。这个性质称为指数遍历性。 随机游动的谱隙还可以通过狄利克雷形式来刻画。定义能量E(f)=⟨(I-P)f,f⟩，那么谱隙等于在l²₀上E(f)/∥f∥²的下确界。这种变分刻画使得我们可以通过测试函数来估计谱隙的下界。