随机变量的变换的Bregman散度
字数 2706 2025-11-17 02:37:10

随机变量的变换的Bregman散度

我们先从散度的基本概念开始。散度是一种度量两个对象差异的函数，在概率与统计中常用于度量两个概率分布之间的差异。Bregman散度是一类由凸函数生成的散度，它统一了许多常见的散度和距离度量。

  1. 凸函数与Bregman散度的定义
    设 \(\phi: \mathcal{S} \to \mathbb{R}\) 是一个在凸集 \(\mathcal{S} \subset \mathbb{R}^d\) 上的严格凸且可微函数。Bregman散度 \(D_\phi: \mathcal{S} \times \mathcal{S} \to [0, \infty)\) 定义为：

\[ D_\phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \phi(\mathbf{x}) - \phi(\mathbf{y}) - \langle \nabla \phi(\mathbf{y}), \mathbf{x} - \mathbf{y} \rangle \]

其中 \(\nabla \phi(\mathbf{y})\) 是 \(\phi\) 在点 \(\mathbf{y}\) 的梯度，\(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 是内积。直观上，\(D_\phi(\mathbf{x}, \mathbf{y})\) 度量了函数 \(\phi\) 在点 \(\mathbf{x}\) 的值与其在点 \(\mathbf{y}\) 的线性近似之间的差异。

  1. Bregman散度的性质

    • 非负性：对任意 \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathcal{S}\)，有 \(D_\phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \ge 0\)，且 \(D_\phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 0\) 当且仅当 \(\mathbf{x} = \mathbf{y}\)。
    • 非对称性：通常 \(D_\phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \ne D_\phi(\mathbf{y}, \mathbf{x})\)，因此它不是距离度量。
    • 凸性：对第一个变量 \(\mathbf{x}\) 是凸的，但对第二个变量 \(\mathbf{y}\) 未必凸。
    • 线性分离性：若 \(\phi(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^d \phi_i(x_i)\)，则 \(D_\phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_{i=1}^d D_{\phi_i}(x_i, y_i)\)。

  2. 常见Bregman散度的例子

    • 平方欧几里得距离：取 \(\phi(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|^2\)，则 \(D_\phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|^2\)。
    • Kullback-Leibler (KL) 散度：取 \(\phi(\mathbf{p}) = \sum_{i=1}^d p_i \log p_i\)（负熵），定义在概率单纯形上，则 \(D_\phi(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sum_{i=1}^d p_i \log \frac{p_i}{q_i}\)，即KL散度。
    • Itakura-Saito散度：取 \(\phi(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^d \log x_i\)，则 \(D_\phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_{i=1}^d \left( \frac{x_i}{y_i} - \log \frac{x_i}{y_i} - 1 \right)\)，用于信号处理。

  3. Bregman散度与概率分布
    在概率论中，Bregman散度可用于度量两个概率分布的差异。考虑随机变量 \(X\) 的概率分布 \(P\) 和 \(Q\)，其概率密度函数（或概率质量函数）为 \(p(x)\) 和 \(q(x)\)。通过选择适当的凸函数 \(\phi\)，可以导出分布间的散度：

\[ D_\phi(P, Q) = \int \left[ \phi(p(x)) - \phi(q(x)) - \phi'(q(x))(p(x) - q(x)) \right] dx \]

例如，取 \(\phi(t) = t \log t\) 可得KL散度。

  1. Bregman散度的优化性质
    Bregman散度在优化和统计估计中有重要应用。给定一组点 \( {\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n} \，其Bregman散度意义下的均值（即Bregman质心）是如下优化问题的解：

\[ \mathbf{y}^* = \arg\min_{\mathbf{y}} \sum_{i=1}^n D_\phi(\mathbf{x}_i, \mathbf{y}) \]

解为 \(\mathbf{y}^* = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{x}_i\)，与欧几里得均值一致。但对于其他散度（如KL散度），质心对应分布的加权几何平均。

  1. 广义Bregman散度与随机变量的变换
    当处理随机变量的变换时，Bregman散度可用于度量变换后分布的差异。设 \(Y = g(X)\) 是随机变量 \(X\) 的变换，其分布为 \(P_Y\) 和 \(Q_Y\)。若 \(\phi\) 是凸函数，变换后的散度为：

\[ D_\phi(P_Y, Q_Y) = D_\phi(P_X \circ g^{-1}, Q_X \circ g^{-1}) \]

这里 \(\circ g^{-1}\) 表示分布的推前。Bregman散度在此变换下的行为取决于 \(g\) 的性质和 \(\phi\) 的选择。

  1. 应用与扩展
    Bregman散度在机器学习、信息论和统计推断中有广泛应用，如聚类（Bregman聚类算法）、泛函估计和变分推断。它还可结合其他方法（如投影梯度法）用于解决约束优化问题。
随机变量的变换的Bregman散度 我们先从散度的基本概念开始。散度是一种度量两个对象差异的函数，在概率与统计中常用于度量两个概率分布之间的差异。Bregman散度是一类由凸函数生成的散度，它统一了许多常见的散度和距离度量。 凸函数与Bregman散度的定义 设 \( \phi: \mathcal{S} \to \mathbb{R} \) 是一个在凸集 \( \mathcal{S} \subset \mathbb{R}^d \) 上的严格凸且可微函数。Bregman散度 \( D_ \phi: \mathcal{S} \times \mathcal{S} \to [ 0, \infty) \) 定义为： \[ D_ \phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \phi(\mathbf{x}) - \phi(\mathbf{y}) - \langle \nabla \phi(\mathbf{y}), \mathbf{x} - \mathbf{y} \rangle \] 其中 \( \nabla \phi(\mathbf{y}) \) 是 \( \phi \) 在点 \( \mathbf{y} \) 的梯度，\( \langle \cdot, \cdot \rangle \) 是内积。直观上，\( D_ \phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \) 度量了函数 \( \phi \) 在点 \( \mathbf{x} \) 的值与其在点 \( \mathbf{y} \) 的线性近似之间的差异。 Bregman散度的性质 非负性 ：对任意 \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathcal{S} \)，有 \( D_ \phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \ge 0 \)，且 \( D_ \phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 0 \) 当且仅当 \( \mathbf{x} = \mathbf{y} \)。 非对称性 ：通常 \( D_ \phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \ne D_ \phi(\mathbf{y}, \mathbf{x}) \)，因此它不是距离度量。 凸性 ：对第一个变量 \( \mathbf{x} \) 是凸的，但对第二个变量 \( \mathbf{y} \) 未必凸。 线性分离性 ：若 \( \phi(\mathbf{x}) = \sum_ {i=1}^d \phi_ i(x_ i) \)，则 \( D_ \phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_ {i=1}^d D_ {\phi_ i}(x_ i, y_ i) \)。 常见Bregman散度的例子 平方欧几里得距离 ：取 \( \phi(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|^2 \)，则 \( D_ \phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|^2 \)。 Kullback-Leibler (KL) 散度 ：取 \( \phi(\mathbf{p}) = \sum_ {i=1}^d p_ i \log p_ i \)（负熵），定义在概率单纯形上，则 \( D_ \phi(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \sum_ {i=1}^d p_ i \log \frac{p_ i}{q_ i} \)，即KL散度。 Itakura-Saito散度 ：取 \( \phi(\mathbf{x}) = -\sum_ {i=1}^d \log x_ i \)，则 \( D_ \phi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_ {i=1}^d \left( \frac{x_ i}{y_ i} - \log \frac{x_ i}{y_ i} - 1 \right) \)，用于信号处理。 Bregman散度与概率分布 在概率论中，Bregman散度可用于度量两个概率分布的差异。考虑随机变量 \( X \) 的概率分布 \( P \) 和 \( Q \)，其概率密度函数（或概率质量函数）为 \( p(x) \) 和 \( q(x) \)。通过选择适当的凸函数 \( \phi \)，可以导出分布间的散度： \[ D_ \phi(P, Q) = \int \left[ \phi(p(x)) - \phi(q(x)) - \phi'(q(x))(p(x) - q(x)) \right ] dx \] 例如，取 \( \phi(t) = t \log t \) 可得KL散度。 Bregman散度的优化性质 Bregman散度在优化和统计估计中有重要应用。给定一组点 \( \{\mathbf{x} 1, \dots, \mathbf{x} n\} \，其Bregman散度意义下的均值（即Bregman质心）是如下优化问题的解： \[ \mathbf{y}^* = \arg\min {\mathbf{y}} \sum {i=1}^n D_ \phi(\mathbf{x} i, \mathbf{y}) \] 解为 \( \mathbf{y}^* = \frac{1}{n} \sum {i=1}^n \mathbf{x}_ i \)，与欧几里得均值一致。但对于其他散度（如KL散度），质心对应分布的加权几何平均。 广义Bregman散度与随机变量的变换 当处理随机变量的变换时，Bregman散度可用于度量变换后分布的差异。设 \( Y = g(X) \) 是随机变量 \( X \) 的变换，其分布为 \( P_ Y \) 和 \( Q_ Y \)。若 \( \phi \) 是凸函数，变换后的散度为： \[ D_ \phi(P_ Y, Q_ Y) = D_ \phi(P_ X \circ g^{-1}, Q_ X \circ g^{-1}) \] 这里 \( \circ g^{-1} \) 表示分布的推前。Bregman散度在此变换下的行为取决于 \( g \) 的性质和 \( \phi \) 的选择。 应用与扩展 Bregman散度在机器学习、信息论和统计推断中有广泛应用，如聚类（Bregman聚类算法）、泛函估计和变分推断。它还可结合其他方法（如投影梯度法）用于解决约束优化问题。