模的伴随表示 我们先从群表示论的基本概念开始。一个群G在向量空间V上的线性表示是一个群同态ρ: G → GL(V)，其中GL(V)是V上所有可逆线性变换构成的群。这相当于说，对于每个群元素g ∈ G，我们都有一个可逆线性映射ρ(g): V → V，并且满足ρ(gh) = ρ(g)ρ(h)。 现在考虑一种特殊的群：矩阵群本身。设G是GL(n, F)的一个子群（F是一个域）。这个群G自然地在n维向量空间Fⁿ上作用，这称为它的自然表示。但除了这个表示，我们还可以构造另一个非常重要的表示：伴随表示。 为了理解伴随表示，我们首先需要李代数的概念。对于一个矩阵群G，它的李代数𝔤可以定义为G在单位元处的切空间。更具体地说，对于矩阵群G ⊆ GL(n, F)，它的李代数𝔤由所有n×n矩阵X组成，使得对于所有t ∈ F，矩阵指数exp(tX)都在G中（或者至少在G的某个邻域中）。 李代数𝔤本身是一个向量空间，并且配备了一个称为李括号的双线性运算[ ·,·]: 𝔤 × 𝔤 → 𝔤，定义为[ X,Y ] = XY - YX。 现在，群G可以通过共轭作用在其李代数𝔤上。对于任意g ∈ G和X ∈ 𝔤，我们定义Ad(g)(X) = gXg⁻¹。这个映射Ad(g): 𝔤 → 𝔤是线性的，并且保持李括号结构，即Ad(g)([ X,Y]) = [ Ad(g)(X), Ad(g)(Y) ]。 由此我们得到了一个群同态Ad: G → GL(𝔤)，这个同态就是群G的伴随表示。换句话说，伴随表示就是将群元素g映射到它在李代数上的共轭作用Ad(g)。 伴随表示的重要性在于它为我们提供了一种用线性代数工具研究非线性群结构的方法。通过研究这个表示的属性（如不可约分解、特征标等），我们可以深入了解原群G的结构和性质。