分析学词条：拉普拉斯变换
我们先从认识拉普拉斯变换本身开始。
第一步：定义与基本形式
拉普拉斯变换是一种积分变换，它将一个定义在实数域（通常是时间域 t ≥ 0）上的函数 \(f(t)\)，通过一个特定的积分运算，转换为一个定义在复数域上的函数 \(F(s)\)。
其定义如下：
\[\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt \]
其中：
- \(f(t)\) 是原函数，要求其定义在 \([0, \infty)\) 上。
- \(F(s)\) 是像函数，也称为 \(f(t)\) 的拉普拉斯变换。
- \(s\) 是一个复数变量，通常表示为 \(s = \sigma + i\omega\)（\(\sigma\) 和 \(\omega\) 是实数，\(i\) 是虚数单位）。
- 积分 \(\int_{0}^{\infty} ... \, dt\) 是一个广义积分（或称瑕积分），其收敛性是需要考虑的首要问题。
第二步：变换的直观理解与核心思想
这个变换的核心思想可以分两层来理解：
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“投影”或“分解”：类似于傅里叶变换将一个函数分解成不同频率的复正弦波（\(e^{i\omega t}\)）的叠加，拉普拉斯变换可以看作是将函数 \(f(t)\) 分解成一系列更广泛的“模式”——指数衰减（或增长）的正弦波 \(e^{-st}\) 的叠加。这里的 \(s\) 是复数，其实部 \(\sigma\) 控制了指数衰减或增长的速率，虚部 \(\omega\) 则对应了振荡的频率。
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“核函数”的作用：变换中的 \(e^{-st}\) 被称为核。这个核具有一个极其重要的特性：它是线性微分算子的特征函数。也就是说，对 \(e^{-st}\) 进行求导，等价于简单地乘以一个因子 \(s\)：\(\frac{d}{dt}e^{-st} = s e^{-st}\)。这个性质是拉普拉斯变换能够简化微分方程的关键。
第三步：存在性与收敛域
并非所有函数都能进行拉普拉斯变换。广义积分 \(\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt\) 必须收敛，变换才存在。
- 指数阶函数：如果一个函数 \(f(t)\) 满足：存在常数 \(M > 0\)，\(c \in \mathbb{R}\)，和 \(T > 0\)，使得对于所有 \(t > T\)，都有 \(|f(t)| \leq M e^{ct}\)，那么我们称 \(f(t)\) 是指数阶的。
- 收敛横坐标：对于指数阶函数，存在一个实数 \(\sigma_a\)（称为绝对收敛横坐标），使得当复变量 \(s\) 的实部 \(\mathrm{Re}(s) > \sigma_a\) 时，拉普拉斯积分的绝对值积分收敛（即 \(\int_{0}^{\infty} |f(t)e^{-st}| dt\) 收敛）。这意味着，在复平面上，拉普拉斯变换 \(F(s)\) 在一个右半平面 \(\mathrm{Re}(s) > \sigma_a\) 上是存在且解析的（即无限次可微的复函数）。这个区域就是收敛域。
第四步：基本性质与运算规则
拉普拉斯变换的强大威力源于它的一系列优良性质，这些性质将时域 \(t\) 中复杂的运算，转化为复频域 \(s\) 中简单的代数运算。
- 线性性质：
\[ \mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s) \]
这是所有积分变换的基本性质。
- 微分性质（核心性质）：
这是拉普拉斯变换用于解微分方程的核心。假设 \(f(t)\) 及其各阶导数的拉普拉斯变换存在。
- 一阶导数： \(\mathcal{L}\{f'(t)\} = s F(s) - f(0)\)
- 二阶导数： \(\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)\)
- n阶导数： \(\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^n F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)\)
请注意，它将微分运算巧妙地转化为了乘法运算，并且自动嵌入了初始条件 \(f(0), f'(0), ...\)。这是它比傅里叶变换在求解初值问题时更方便的主要原因。
- 积分性质：
\[ \mathcal{L}\left\{ \int_{0}^{t} f(\tau) \, d\tau \right\} = \frac{1}{s} F(s) \]
它将积分运算转化为除法运算。
- 平移性质：
- s-域平移： \(\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)\)
- t-域平移（时延）：对于单位阶跃函数 \(u(t-a)\)，有 \(\mathcal{L}\{f(t-a) u(t-a)\} = e^{-as} F(s)\)
- 卷积定理：
\[ \mathcal{L}\{(f * g)(t)\} = \mathcal{L}\left\{ \int_{0}^{t} f(\tau)g(t-\tau) \, d\tau \right\} = F(s) \cdot G(s) \]
它将时域中复杂的卷积运算，转化为复频域中简单的乘法运算。
第五步：应用与求解微分方程
现在，我们来看拉普拉斯变换最经典的应用——求解常系数线性常微分方程。其步骤形成了一个清晰的“机器”流程：
- 变换：对微分方程两边同时取拉普拉斯变换。
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- 代入初始条件：利用微分性质，将包含初始条件的项代入。
- 求解代数方程：此时，原微分方程已转化为一个关于 \(F(s)\) 的代数方程。解这个简单的代数方程，得到 \(F(s)\) 的表达式。
- 逆变换：最后，对求得的 \(F(s)\) 进行拉普拉斯逆变换，即可得到原微分方程的解 \(f(t)\)。逆变换通常写作 \(\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t)\)。
求逆变换通常需要利用已知的基本变换对和部分分式分解法等技巧。
第六步：与傅里叶变换的关系
你已学过傅里叶变换，现在可以建立联系。傅里叶变换的核是纯虚指数 \(e^{-i\omega t}\)，它只在虚轴上“观察”函数。而拉普拉斯变换的核 \(e^{-st} = e^{-\sigma t} e^{-i\omega t}\) 多了一个实部 \(\sigma\)，这个指数衰减因子 \(e^{-\sigma t}\) 就像一个“收敛因子”，它使得许多对于傅里叶变换不收敛（例如增长太快或不衰减）的函数，在拉普拉斯变换下变得可处理。
粗略地说，当拉普拉斯变换中的 \(s\) 的实部为零（即 \(s = i\omega\)）时，拉普拉斯变换就“退化”为傅里叶变换（在一定的函数类和收敛条件下）。因此，拉普拉斯变换可以看作是傅里叶变换在复平面上的一个推广，特别适用于分析因果信号和求解初值问题。