模的伴随函子
字数 934 2025-11-16 22:25:20

模的伴随函子

我将为你详细讲解模的伴随函子。这是一个范畴论中的重要概念，在代数中广泛应用于模论和同调代数。

  1. 范畴与函子的基本概念

    • 一个范畴由对象和对象之间的态射组成，要求态射满足结合律和单位元律
    • 函子是范畴之间的映射，将对象映到对象，态射映到态射，保持复合和恒等态射
    • 例如，模范畴R-Mod中，对象是R-模，态射是R-模同态

  2. 伴随函子的定义

    • 设F: C→D和G: D→C是两个函子
    • 称(F,G)是伴随对，如果存在自然同构：Hom_D(F(X), Y) ≅ Hom_C(X, G(Y))
    • 这里F称为G的左伴随，G称为F的右伴随
    • 自然同构意味着对C中所有对象X和D中所有对象Y，这个同构是自然的

  3. 模范畴中的具体例子

    • 标量限制函子：设f: R→S是环同态，则存在函子对
    • f_*: S-Mod → R-Mod（标量限制）是忘却函子
    • S⊗_R -: R-Mod → S-Mod（标量扩张）是左伴随
    • Hom_R(S, -): R-Mod → S-Mod 是右伴随
    • 具体地，Hom_S(S⊗_R M, N) ≅ Hom_R(M, Hom_S(S, N))

  4. 伴随函子的基本性质

    • 保持极限：右伴随保持极限（如积、等化子）
    • 保持余极限：左伴随保持余极限（如余积、余等化子）
    • 单位与余单位：伴随对(F,G)给出自然变换η: 1_C→GF和ε: FG→1_D
    • 满足三角恒等式：Gε ∘ ηG = 1_G 和 εF ∘ Fη = 1_F

  5. 伴随函子的存在性判据

    • 特殊伴随函子定理：如果C是局部小且完备的范畴，G: C→D保持极限，且C有生成元，则G有左伴随
    • 一般伴随函子定理：更一般的存在性条件
    • 这些定理保证了在许多自然情况下伴随函子的存在

  6. 在同调代数中的应用

    • 导出函子：左正合函子的右导出函子，右正合函子的左导出函子
    • 伴随函子的导出函子仍然构成伴随对
    • 例如，Tor和Ext函子与张量积、Hom函子的关系
    • 在模的分解理论和同调维数研究中有重要应用

  7. 在代数几何中的推广

    • 层模范畴中的伴随函子
    • 推出和拉回函子的伴随关系
    • 在导出范畴中的推广：导出函子的伴随性
    • 与六函子形式主义的联系

模的伴随函子理论为理解不同模范畴之间的关系提供了强大工具，是同调代数和表示论中的基础概念。

模的伴随函子 我将为你详细讲解模的伴随函子。这是一个范畴论中的重要概念，在代数中广泛应用于模论和同调代数。 范畴与函子的基本概念 一个范畴由对象和对象之间的态射组成，要求态射满足结合律和单位元律 函子是范畴之间的映射，将对象映到对象，态射映到态射，保持复合和恒等态射 例如，模范畴R-Mod中，对象是R-模，态射是R-模同态 伴随函子的定义 设F: C→D和G: D→C是两个函子 称(F,G)是伴随对，如果存在自然同构：Hom_ D(F(X), Y) ≅ Hom_ C(X, G(Y)) 这里F称为G的左伴随，G称为F的右伴随 自然同构意味着对C中所有对象X和D中所有对象Y，这个同构是自然的 模范畴中的具体例子 标量限制函子：设f: R→S是环同态，则存在函子对 f_* : S-Mod → R-Mod（标量限制）是忘却函子 S⊗_ R -: R-Mod → S-Mod（标量扩张）是左伴随 Hom_ R(S, -): R-Mod → S-Mod 是右伴随 具体地，Hom_ S(S⊗_ R M, N) ≅ Hom_ R(M, Hom_ S(S, N)) 伴随函子的基本性质 保持极限：右伴随保持极限（如积、等化子） 保持余极限：左伴随保持余极限（如余积、余等化子） 单位与余单位：伴随对(F,G)给出自然变换η: 1_ C→GF和ε: FG→1_ D 满足三角恒等式：Gε ∘ ηG = 1_ G 和 εF ∘ Fη = 1_ F 伴随函子的存在性判据 特殊伴随函子定理：如果C是局部小且完备的范畴，G: C→D保持极限，且C有生成元，则G有左伴随 一般伴随函子定理：更一般的存在性条件 这些定理保证了在许多自然情况下伴随函子的存在 在同调代数中的应用 导出函子：左正合函子的右导出函子，右正合函子的左导出函子 伴随函子的导出函子仍然构成伴随对 例如，Tor和Ext函子与张量积、Hom函子的关系 在模的分解理论和同调维数研究中有重要应用 在代数几何中的推广 层模范畴中的伴随函子 推出和拉回函子的伴随关系 在导出范畴中的推广：导出函子的伴随性 与六函子形式主义的联系 模的伴随函子理论为理解不同模范畴之间的关系提供了强大工具，是同调代数和表示论中的基础概念。